Enunciado

Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.

y ' ' + y = e x + x 3 ,   y 0 = 2 ,   y ' 0 = 0

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea y h ( x ) e a parte particular y p ( x ) :

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a solução da parte homogênea. A equação diferencial homogênea associada é:

y ' ' + y = 0

E supor uma solução do tipo:

y h x = A e k x

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

y ' x = A k e k x

y ' ' x = A k 2 e k x

Agora vamos substituir na equação diferencial:

k 2 A e k x + A e k x = 0

Dividindo essa equação por A e k x temos:

k 2 + 1 = 0 ∴ k = ± i

As raízes são complexas do tipo k = α ± β i a solução é:

y x = e α x c 1 cos ⁡ β x + c 2 s e n β x

Beleza? Aqui temos α = 0 e β = 1 . Vamos substituir os valores encontrados?

y h x = c 1 cos ⁡ x + c 2 s e n x

Agora vamos encontrar a solução particular.

Passo 3

Nesse caso temos duas soluções particulares. Vamos começar com a primeira.

A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função G 1 x é G 1 x = e x , e não faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser uma função exponencial:

y p 1 x = A e x

Definida a solução tentativa, agora o procedimento é padrão: derivar uma e duas vezes a função y p , substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes. Vamos lá?

As derivadas vão ser:

y p 1 ' x = A e x

y p 1 ' ' x = A e x

Resgatando a equação diferencial integral temos:

y p 1 ' ' + y p 1 = e - x

Agora substituindo y p 1   e y p 1 ' ' na equação diferencial temos:

A e x + A e x = e x

Reorganizando os termos temos:

2 A e x = e x

Assim:

A = 1 / 2

E a primeira solução particular é:

y p 1 x = 1 2 e x

Passo 4

A segunda solução particular vai ser dada a partir da função G 2 x é G 2 x = x 3 e não faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser um polinômio de terceiro grau:

y p 2 x = A x 3 + B x 2 + C x + D

As derivadas vão ser:

y p 2 ' x = 3 A x 2 + 2 B x + C

y p 2 ' ' x = 6 A x + 2 B

Resgatando a equação diferencial integral temos:

y p 2 ' ' + y p 2 = x 3

Agora substituindo y p 1   e y p 1 ' ' na equação diferencial temos:

6 A x + 2 B + A x 3 + B x 2 + C x + D = x 3

Reorganizando os termos temos:

x 3 A + x 2 B + x 6 A + C + 2 B + D = x 3

Igualando os coeficientes temos o seguinte sistema:

A = 1 ,   B = 0 6 A + C = 0 2 B + D = 0

Assim temos: A = 1 ,   B = 0 ,   C = - 6 ,   D = 0

E a segunda solução particular é:

y p 2 x = x 3 - 6 x

Passo 5

Show! Agora é só juntar todos os resultados! Do passo 2 temos a solução y h e dos passos 3 e 4 temos y p . Vai lá ao passo 1 e pega a solução geral:

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Substituindo os resultados teremos:

y x = c 1 cos ⁡ x + c 2 s e n x + 1 2 e x + x 3 - 6 x

Passo 6

Beleza! Agora é só aplicar as condições iniciais para determinar as constantes c 1 e c 2 . As condições iniciais são:   y 0 = 2 ,   y ' 0 = 0

A primeira é sobre a solução, então fazendo x = 0 em y ( x ) temos:

y 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 s e n 0 + 1 2 e 0 + 0 3 - 6.0 = 2

c 1 + 1 2 = 2 ∴ c 1 = 3 2

A segunda condição é sobre a derivada. Então y ' ( x ) é:

y ' x = - c 1 sen ⁡ x + c 2 c o s x + 1 2 e x + 3 x 2 - 6

E aplicando em x = 0 temos:

y ' 0 = c 2 + 1 2 - 6 = 0

c 2 = 6 - 1 2 = 11 / 2

Show! Finalmente temos a solução:

y x = 3 / 2 cos ⁡ x + 11 / 2 s e n x + 1 2 e x + x 3 - 6 x

Resposta

y x = 3 / 2 cos ⁡ x + 11 / 2 s e n x + 1 2 e x + x 3 - 6 x

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Em cada um dos problemas de 1 a 6, use a fórmula de Euler para escrever a expressão dada na forma a + i b . π - 1 + 2 i
Em cada um dos problemas de 1 a 6, use a fórmula de Euler para escrever a expressão dada na forma a + i b . exp ⁡ 1 + 2 i