Resolva a equação diferencial sen(x) dy/dx + cos(x)y = sen(x^2)

Passo 1

Lembrando que o fator integrante é dado por I x = e ∫ P x d x , ou seja I x = e ∫ cotan ⁡ x d x = e ln ⁡ | s e n ( x ) | = | s e n ( x ) | .

Passo 2

Sabendo que dado o fator integrante I ( x ) , a solução y ( x ) é dada por y x = 1 I ( x ) ∫ I x Q x d x + C . Já sabemos que I x = | s e n ( x ) | e que Q x = s e n x 2 s e n x .

Passo 3

Então precisamos calcular ∫ s e n x s e n x 2 s e n x d x . Observe que s e n x ≥ 0 quando 0 + 2 k π ≤ x ≤ π + 2 k π e s e n x < 0 quando π + 2 k π < x < 2 k π . Então ∫ s e n x s e n x 2 s e n x d x = ∫ i x s e n ( x 2 ) d x , onde

i x = 1 ,   s e     0 + 2 k π ≤ x ≤ π + 2 k π   - 1 ,   s e     2 k π < x < 2 k π                                         . E por fim, a solução é y x = 1 | s e n x | ∫ i x s e n ( x 2 ) d x + C .

Resposta

y x = 1 | s e n x | ∫ i x s e n ( x 2 ) d x + C

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