Enunciado

95. Seja

f x , y = x 3 y - x y 3 x 2 + y 2 s e   x , y ≠ 0,0 0 s e   x , y = 0,0

(c) Determine f x 0,0 e f y 0,0 usando as Equações 2 e 3.

Passo 1

Nessa questão, temos que lembrar da definição de derivada parcial que nos remete ao cálculo de derivada, olha só:

f x a , b = lim h → 0 ⁡ f a + h , b - f a , b h

Para o ponto 0,0 :

f x 0,0 = lim h → 0 ⁡ f h , 0 - f 0,0 h

Como f 0,0 = 0 , basta calcular f ( h , 0 ) .

f h , 0 =   h 3 ⋅ 0 - h ⋅ 0 3 h 2 + 0 2

Logo,

f h , 0 = 0

Então f x 0,0 fica o seguinte:

f x 0,0 = lim h → 0 ⁡ 0 - 0 h = 0

Passo 2

Em relação ao y é bem parecido, olha só:

f y a , b = lim h → 0 ⁡ f a , b + h - f a , b h

Para o ponto 0,0 :

f y 0,0 = lim h → 0 ⁡ f 0 , h - f 0,0 h

Como f 0,0 = 0 , basta calcular f ( 0 , h ) .

f h , 0 =   0 3 ⋅ h - 0 ⋅ h 3 0 2 + h 2

Logo,

f 0 , h = 0

Então f y 0,0 fica o seguinte:

lim h → 0 ⁡ 0 - 0 h = 0

Voltando para derivada parcial:

f y 0,0 = lim h → 0 ⁡ 0 - 0 h = 0

Resposta

f x 0,0 = 0

f y 0,0 = 0

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