Enunciado

Resolva a equação diferencial.

sec x d y + x * cos^2 y d x = 0

Passo 1

Vamos, primeiramente, reescrever a equação diferencial de forma a separar o que tem x de um lado e o que tem y do outro, dessa forma o nosso problema vai se resumir em resolver duas integrais e isolar y = f ( x ) que é o que queremos encontrar. Assim,

(d y)/(cos x) = - x c o s^2 y d x

(d y)/(cos^2 y) = - x * cos (x) d x

Passo 2

Agora que temos separado de um lado somente uma variável e do outro a outra variável podemos integrar ambos os lados (calculando as integrais separadamente) e depois juntar os resultados

int (d y)/(cos^2 y) = int - x * cos (x) d x

(i) : int (d y)/(cos^2 y) = int sec^2 y d y = t g (y) + C 1

(i i) : int - x * cos (x) d x

Precisaremos integrar por partes, assim, vamos fazer as seguintes escolhas

u = x -> u^' = 1 d v = cos ( x ) -> v = s e n ( x )

int - x * cos (x) d x = - int x * cos (x) d x = - [x * s e n (x) - int s e n (x) d x]

-> - [x * s e n (x) + cos (x)] + C 2

-> - x * s e n (x) - cos (x) + C 2

Juntando ambos os resultados lembrando e fazendo C = C 2 - C 1 teremos

t g (y) + C 1 = - x * s e n (x) - cos (x) + C 2

t g (y) = - x * s e n (x) - cos (x) + C

y = a r c t g ( - x * s e n (x) - cos (x) + C )

Resposta

y = a r c t g ( - x * s e n (x) - cos (x) + C )

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