Resolva a equação diferencial.

sec(x) dy + x \* cos^2(y) dx = 0

Passo 1

Vamos, primeiramente, reescrever a equação diferencial de forma a separar o que tem x de um lado e o que tem y do outro, dessa forma o nosso problema vai se resumir em resolver duas integrais e isolar y = f ( x ) que é o que queremos encontrar. Assim,

d y cos ⁡ x =   - x c o s 2 y   d x

d y cos 2 ⁡ y =   - x ⋅ cos ⁡ x d x  

Passo 2

Agora que temos separado de um lado somente uma variável e do outro a outra variável podemos integrar ambos os lados (calculando as integrais separadamente) e depois juntar os resultados

∫ d y cos 2 ⁡ y = ∫ - x ⋅ cos ⁡ x d x

i : ∫ d y cos 2 ⁡ y = ∫ sec 2 ⁡ y   d y = t g y + C 1

i i : ∫ - x ⋅ cos ⁡ x d x

Precisaremos integrar por partes, assim, vamos fazer as seguintes escolhas

u = x → u ' = 1 d v = cos ⁡ ( x ) → v = s e n ( x )

∫ - x ⋅ cos ⁡ x d x =   - ∫ x ⋅ cos ⁡ x d x =   - x ⋅ s e n x - ∫ s e n x d x  

→   - x ⋅ s e n x   + cos ⁡ x + C 2

→   - x ⋅ s e n x - cos ⁡ x + C 2

Juntando ambos os resultados lembrando e fazendo C = C 2 - C 1 teremos

t g y + C 1 =   - x ⋅ s e n x - cos ⁡ x + C 2  

t g y =   - x ⋅ s e n x - cos ⁡ x + C

y = a r c t g ( - x ⋅ s e n x - cos ⁡ x + C )

Resposta

y = a r c t g ( - x ⋅ s e n x - cos ⁡ x + C )

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