Enunciado

Resolva o problema de valor inicial de crescimento/decaimento exponencial para y como uma função de t considerando a equação diferencial como uma equação linear de primeira ordem com P(x) = - k e Q(x) = 0:

d y d t = k y   k   c o n s t a n t e       y 0 = y 0

Passo 1

A EDO em questão e do tipo linear. Essa tem um formato de:

y ` + P t y = f

Para resolver essa questão temos que calcular primeiro o fator integrante v dado por:

v = e ∫ P ( t ) d t

e depois aplicar isso a seguinte expressão:

y = 1 v t ∫ f t ⋅ v t d t + c

Passo 2

Podemos reescrever nossa EDO da seguinte maneira:

d y d t - k y = 0

Com as expressões acima podemos resolver a EDO. Vamos aqui nomear na nossa equação cada termo das expressões do passo 1.

P t = k

f = 0

Passo 3

Calculando o fator integrante temos:

v = e ∫ k d t = e k t

Passo 4

Substituindo na solução da edo, temos que:

y = 1 e k t ∫ 0 d t + c ⇒ y = c e k t ⇒ c = A   c o n s t a n t e

Passo 5

Aplicando as condições de contorno, y ( 0 ) = y 0 , temos que:

y 0 = A e k t = A e 0 = A = y 0

Resposta

Então o resultado será:

y = y 0 e - k t

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