Resolva a equação diferencial:

y' + tan(x)y = cos^2(x) - pi/2 < x < pi/2

Passo 1

E aê pessoal? Vamos resolver essa equação diferencial.

Primeiro, Vamos agora comprar com a equação diferencial. Beleza?

y ' x + p x y = f ( x )

Comparando, percebemos que p x = tan ⁡ x   ; f x = cos 2 ⁡ x

Passo 2

Agora, que identificamos p ( x ) e f ( x ) , vamos encontrar o fator integrante, ok?

Show, o fator integrante é dado por:

u x =   e ∫ p x d x = e ∫ tan ⁡ x   d x =   e ln ⁡ sec ⁡ x = sec ⁡ x =   1 cos ⁡ x  

Passo 3

Agora, multiplicaremos o fator integrante pela equação dada:

1 cos ⁡ x   . y ' +   1 cos ⁡ x   .   sin ⁡ x   cos ⁡ x   y = 1 cos ⁡ x   . cos 2 ⁡ x

1 cos ⁡ x   . y ' +   sin ⁡ x   cos 2 ⁡ x y = cos ⁡ x

Repare que do lado esquerdo da equação equivale a derivado do produto:

d y d x 1 cos ⁡ x   . y = cos ⁡ x

Passo 4

Beleza, agora é só integrar:

1 cos ⁡ x   . y = ∫ cos ⁡ x d x

1 cos ⁡ x   . y = sin ⁡ x + C

y = cos ⁡ x . sin ⁡ x + c . cos ⁡ x  

Resposta

y = cos ⁡ x . sin ⁡ x + c . cos ⁡ x  

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