Enunciado

Resolva a equação diferencial e use uma calculadora gráfica ou um computador para traçar vários membros da família de soluções. Como a curva solução muda quando C varia?

x y ' = x 2 + 2 y

Passo 1

Temos que a equação diferencial linear   x y ' = x 2 + 2 y , pode ser escrita da seguinte forma:

y ' + P x y = Q ( x )

y ' + 2 x y = x

Para resolvelá podemos utilizar o fator integrante

I x = e ∫ P x d x = e ∫ 2 x d x = e - 2 l n ⁡ | x | = ( e ln ⁡ x ) - 2 = 1 x 2

Multiplicando ambos os lados da equação diferencial linear por I ( x ) :

1 x 2 y ' + 2 x ³ y = 1 x

O primeiro termo se parece muito com uma derivada pela regra do produto então podemos escreve-lo da seguinte forma:

d d x 1 x ² y = 1 x

Integrando ambos os lados obtemos:

1 x 2 y = ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

y = x 2 ln ⁡ x + x ² C

Passo 2

Construindo o gráfico para C = 0 ,   C = 1 2 e C = - 1 2 :

Quando C é maior que zero a curva fica menor e mais fechada tendendo a uma parábola, já quando C é menor que zero a curva fica maior e mais aberta.

Resposta

y = x 2 ln ⁡ x + x ² C

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