Enunciado

O sistema de equações diferenciais

d x d t = 0,5 x - 0,0004 x 2 - 0,001 x y

d y d t = 0,4 y - 0,001 y 2 - 0,002 x y

É um modelo para as populações de duas espécies.

(a) O modelo descreve cooperação, ou competição, ou uma relação predator-presa?

(b) Encontre as soluções de equilíbrio e explique seu significado.

Passo 1

Temos que

d x d t = 0,5 x - 0,0004 x 2 - 0,001 x y

d y d t = 0,4 y - 0,001 y 2 - 0,002 x y

Podemos agrupar os termos semelhantes nas duas equações diferenciais, obtendo assim:

d x d t = 0,5 x 1 - x 125   - 0,001 x y

d y d t = 0,4 y 1 - y 400 - 0,002 x y

Passo 2

A equação diferencial estando no formato encontrado no passo 1, podemos concluir que as capacidades são 125 e 400 respectivamente. Através do termo misto (xy), podemos ver que, se x cresce, y decresce e vice-versa, dessa forma temos uma relação de competição.

Passo 3

No equilibro, a derivada se anula, ou seja:

d x d t = 0 ↔ x 0,5 - 0,004 x - 0,001 y = 0 ↔ x 500 - 4 x - y = 0

d y d t = 0 ↔ y 0,4 - 0,001 y - 0,002 x = 0 ↔ y 400 - y - 2 x = 0

Passo 4

A partir das 2 situações de equilíbrio encontradas no passo 3, temos 4 soluções:

x = 0 ,   y = 0   ↔ As duas populações são nulas;

x = 0 ,   y = 400   ↔ Na ausência de elementos de x, a população de y se estabiliza em 400 elementos;

x = 125 ,   y = 0   ↔ Na ausência de elementos de y, a população de x se estabiliza em 125 elementos;

x = 50 ,   y = 300   ↔ Uma população de 300 elementos de y é o suficiente para suportar uma população de 50 elementos de x.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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