Enunciado

Determine o volume do sólido dado.

Limitado pelo cilindro y 2 + z 2 = 4 e os planos x = 2 y , x = 0 , z = 0 no primeiro octante.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Podemos expressar o volume de um sólido limitado por uma superfície e uma região através da seguinte integral dupla:

V = ∬ D f x , y d A

Onde D é a região limitada na qual devemos integrar a função.

Neste caso, a função que vamos integrar, vai sair da equação:

y 2 + z 2 = 4

Isolando z , temos:

z 2 = 4 - y 2

z = ± 4 - y 2

Como estamos falando do primeiro octante, z ≥ 0 , então:

z = 4 - y 2

Para descobrir os limites de y , temos que, como z = 0 :

y 2 + z 2 = 4

y 2 = 4

y = ± 2

Como y ≥ 0 , então:

y = 2

Passo 2

Agora que achamos os limites, é só aplicar e resolver a integral. Temos que:

D = x , y | 0 ≤ x ≤ 2 y , 0 ≤ y ≤ 2  

Assim, a integral dupla pode ser escrita como:

V = ∬ D f x , y d A = ∫ 0 2 ∫ 0 2 y f ( x , y ) d x d y

Como f x , y = z , temos:

V = ∫ 0 2 ∫ 0 2 y 4 - y 2 d x d y

Vamos resolver a integral de dentro:

∫ 0 2 y 4 - y 2 d x = 4 - y 2 x 0 2 y

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

∫ 0 2 y 4 - y 2 d x = 4 - y 2 ( 2 y - 0 )

∫ 0 2 y 4 - y 2 d x = 2 y 4 - y 2

Logo, substituindo, temos:

V = ∫ 0 2 ∫ 0 2 y 4 - y 2 d x d y = ∫ 0 2 2 y 4 - y 2 d y

Passo 3

Agora é só resolver por substituição:

V = ∫ 0 2 2 y 4 - y 2 d y

Vamos chamar 4 - y 2 = u . Logo:

d u d y = - 2 y

- d u = 2 y d y

Analisando os limites, temos que, quando:

y = 0 → u = 4

y = 2 → u = 0

A substituição será:

∫ 0 2 2 y 4 - y 2 d y = ∫ 4 0 - u d u

∫ 4 0 - u d u = - u 3 2 3 2 4 0

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

∫ 4 0 - u d u = - 0 3 2 3 2 - 4 3 2 3 2

Resolvendo, temos:

∫ 4 0 - u d u = 4 3 2 3 2

∫ 4 0 - u d u = 2 3 4 3 / 2

∫ 4 0 - u d u = 16 3

Logo:

∫ 0 2 2 y 4 - y 2 d y = 16 3

Portanto, o volume será:

V = 16 3

Resposta

V = 16 3

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