Enunciado

Resolva a equação diferencial.

3 - (x^2 + 1) y^' = x y

Passo 1

Queremos resolver a equação (x^2 + 1) y^' = x y , se conseguirmos deixar de um lado termos com somente x e do outro termos com somente y podemos dizer que esta é uma EDO separável, então podemos integrá-la de ambos os lados para encontrar y , dessa forma:

(x^2 + 1) y^' = x y

Lembre que y^' = (d y)/(d x) , então:

(x^2 + 1) (d y)/(d x) = x y

(d y)/(y) = (x d x)/(x^2 + 1)

Passo 2

Agora podemos integrar do lado esquerdo em função de y e do lado direito em função de x , assim:

int (d y)/(y) = int (x d x)/(x^2 + 1)

Para calcular a integral int (x d x)/(x^2 + 1) podemos usar o método da substituição, chamando u = x^2 + 1 e d u = 2 x d x , então ficamos com: int (d y)/(y) = int (d u)/(2 u)

ln |y| = (ln |u|)/(2) + C

ln |y| = (ln | x^2 + 1 |)/(2) + C (Não esqueça da constante C )

Passo 3

Como x^2 >= 0 , x^2 + 1 é sempre positivo, então podemos retirar aquele módulo do lado direito, e usando a propriedade de logaritmo podemos jogar o (1)/(2) da frente do l n como expoente de x^2 + 1 , assim:

ln |y| = ln ( sqrt(x^2 + 1) ) + C

Passo 4

Agora vamos lembrar de outra propriedade dos logaritmos que nos diz que log_b b^a = a , vamos usar isso para trocar a constante C, dessa forma:

ln |y| = ln ( sqrt(x^2 + 1) ) + ln e^C

E pra provar que a tia Maria do ensino fundamental não mentiu para nós, vamos usar mais uma propriedade dos log’s, lembre que: ln (m) + ln (n) = l n ( m n ) :

ln |y| = l n ( e^C sqrt(x^2 + 1) )

| y | = e^C sqrt(x^2 + 1)

Como e^C >= 0 e sqrt(x^2 + 1) >= 0 , podemos retirar o módulo do y , pois esse produto sempre será positivo. Então:

y = e^C sqrt(x^2 + 1)

Podemos ainda simplificar a resposta se lembrarmos que e^C é uma constante e podemos chamá-la de outra letra qualquer, k por exemplo. Sendo e^C = k ficamos com:

y = k sqrt(x^2 + 1)

Resposta

3. y = k sqrt(x^2 + 1)

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