Resolva a equação diferencial.

4.y'' + y' - 12y = 0

Passo 1

A equação diferencial possui apenas termos constantes multiplicando y ' ' , y ' e y , então uma solução para esse tipo de equação é:

y = e r x

E as derivadas dela:

y ' = r e r x

y ' ' = r 2 e r x

Precisamos encontrar o valor de r para podermos escrever a equação geral.

Passo 2

Para isso, vamos substituir o que encontramos na equação dada:

r 2 e r x + r e r x - 12 e r x = 0

Dividindo tudo por e r x , encontramos o polinômio característico:

r 2 + r - 12 = 0

Reescrevendo ele:

r + 4 r - 3 = 0

E podemos ver que as raízes são r 1 = - 4 e r 2 = 3 .

Passo 3

Como elas são reais e diferentes entre si, a solução é do tipo:

y = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x

Substituindo as raízes:

y = c 1 e - 4 x + c 2 e 3 x

Essa será a nossa solução geral.

Resposta

y = c 1 e - 4 x + c 2 e 3 x

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