Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.

28. a n = 3 n n + 2

Passo 1

Fala galera, tudo bem?

Vamos calcular o limite da sequência quando n → ∞ , se o limite for um número, a sequência converge para esse número, se o limite tende para infinito, a sequência diverge:

L = lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 3 n n + 2

Se substituirmos   n por teremos uma indeterminação do tipo

∞ / ∞

Então vamos precisar manipular esse limite! Assim vamos levantar essa indeterminação.

Como temos uma razão de potências de n a ideia aqui é colocar o termo √ n   em evidência para simplificar em cima e embaixo

Lembrando que qualquer termo que tenha a / n m , com a constante, ou seja, uma potência de n no denominador, quando n é enorme, essa divisão vai a zero, pois o denominador será grande demais

Então é isso!

Bora começar?

Passo 2

Para resolvermos esse limite, vamos pôr o termo n em evidência no denominador:

L = lim n → ∞ ⁡ 3 n n 1 + 2 n

Simplificando:

L = lim n → ∞ ⁡ 3 1 + 2 n

Passo 3

Ao aplicarmos o limite, o termo que possui n no denominador tenderá para zero já que n   tende para infinito, sobrando apenas:

L = 3 1 + 2 n ⏝ = 0 = 3 1 = 3

E a sequência converge para 3.

Resposta

L = 3

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