Enunciado

Resolva a equação diferencial.

8 (d^2 y)/(d t^2) + 12 (d y)/(d t) + 5 y = 0

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes (pois todos os coeficientes são constantes kkk) e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero.

Passo 2

Com isso, vamos supor uma solução do tipo:

y (t) = A e^(k t)

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

y^' (t) = A k e^(k t)

y^(' ') (t) = A k^2 e^(k t)

Agora vamos substituir na equação diferencial:

8 k^2 A e^(k t) + 12 k A e^(k t) + 5 A e^(k t) = 0

Dividindo essa equação por A e^(k t) temos:

8 k^2 + 12 k + 5 = 0

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Passo 3

Para determinar essas raízes, vamos usar a (mais famosa ainda) fórmula de Bháskara:

k = (- 12 +- sqrt(( 12 )^2 - 4.8 . 5))/(2.8) = (- 12 +- sqrt(- 16))/(16)

Agora simplificando ao máximo temos:

k = (- 12 +- 4 i)/(16) = - (3)/(4) +- (1)/(4) i

Aqui encontramos duas raízes imaginárias. Isso nos dias que a solução é uma combinação linear de seno e cosseno, pesado por uma exponencial.

Se tivermos raízes do tipo k = a +- b i a solução y ( t ) vai ser:

y (t) = e^(a t) [A c o s (b t) + B s e n (b t)]

Agora basta substituir na solução que nós mesmos supomos lá no início do passo 2 . Mas e os coeficientes A e B ? Bom, como temos duas raízes, ambas são soluções, e a combinação linear delas formam uma base para todo o espaço vetorial das soluções. Sendo assim as duas soluções devem aparecer na solução final com os devidos coeficientes.

Passo 4

Agora vamos substituir a = - (3)/(4) e b = (1)/(4) na solução ali do passo 3 :

y (t) = e^(a t) [A c o s (b t) + B s e n (b t)]

y (t) = e^(- 3 // 4 t) [A c o s (t // 4) + B s e n (t // 4)]

É isso pessoal, espero ter ajudado =D

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y (t) = e^(- 3 // 4 t) [A c o s (t // 4) + B s e n (t // 4)]

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