Enunciado

Resolva a equação diferencial.

8. (d y)/(d theta) = (e^y s e n^2 theta)/(y s e c theta)

Passo 1

Queremos resolver a equação (d y)/(d theta) = (e^y s e n^2 theta)/(y s e c theta) , se conseguirmos deixar de um lado termos com somente y e do outro termos com somente theta podemos dizer que esta é uma EDO separável, então podemos integrá-la de ambos os lados para encontrar y , dessa forma:

(d y)/(d theta) = (e^y s e n^2 theta)/(y s e c theta)

(y)/(e^y) d y = (s e n^2 theta)/(s e c theta) d theta

y e^(- y) d y = s e n^2 theta c o s theta d theta

Agora podemos integrar do lado esquerdo em função de y e do lado direito em função de theta , assim:

int y e^(- y) d y = int s e n^2 theta c o s theta d theta

Passo 2

Vamos resolver a integral do lado esquerdo usando a integração por partes (para lembrar: int u d v = u v - int v d u ). Nesse caso chamaremos u = y e e^(- y) d y = d v . Então d u = d y e v = - e^(- y) , aplicando na fórmula ficamos com:

int y e^(- y) d y = - y e^(- y) + int e^(- y) d y

int y e^(- y) d y = - y e^(- y) - e^(- y) + C

Não esqueça da constante C

Passo 3

Agora precisamos encontrar o valor da integral int s e n^2 theta c o s theta d theta , vamos usar substituição para resolvê-la, chamando u = s e n theta e d u = c o s theta d theta , assim:

int s e n^2 theta c o s theta d theta = int u^2 d u = (u^3)/(3) + C = (s e n^3 theta)/(3) + C

Passo 4

Já temos a resposta das duas integrais, basta igualá-las agora:

int y e^(- y) d y = int s e n^2 theta c o s theta d theta

- y e^(- y) - e^(- y) = (s e n^3 theta)/(3) + C

Resposta

8. - y e^(- y) - e^(- y) = (s e n^3 theta)/(3) + C

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