Resolva a equação diferencial.

x \* y' - 2y = x^2

Passo 1

Ei, galera! Vamos resolver essa equação diferencial, mas primeiro, vamos por na forma linear padrão:

d y d x + P x   y = Q x

É só dar uma ajeitadinha na equação, ok?

x y ' - 2 y = x 2

y ' - 2 x   y = x

Então:

P x = - 2 x ,       Q x = x

Agora já podemos resolver usando fator integrante, show?

Passo 2

Show! O fator integrante é dado pela fórmula:

I x = e ∫ P x d x = e ∫ - 2 x   d x = e - 2 ln ⁡ x = e ln ⁡ x - 2 = x - 2 = 1 x 2

Multiplicamos, então, nossa equação pelo fator integrante:

y ' 1 x 2 - 2 x y 1 x 2 = x 1 x 2

Repare que o lado esquerdo da equação equivale à derivada de um produto:

y ' 1 x 2 + y - 2 x 3 = y 1 x 2 '

Então nossa equação fica:

y x 2 ' = 1 x

Passo 3

Show! Agora é só integrar:

y x 2 = ∫ 1 x   d x + C

y x 2 = ln ⁡ x + C

y = x 2 ln ⁡ x + C x 2

Feshow!

Resposta

y = x 2 ln ⁡ x + C x 2

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