Enunciado

Resolva a equação diferencial.

x y^' - 2 y = x^2

Passo 1

Ei, galera! Vamos resolver essa equação diferencial, mas primeiro, vamos por na forma linear padrão:

(d y)/(d x) + P (x) y = Q (x)

É só dar uma ajeitadinha na equação, ok?

x y^' - 2 y = x^2

y^' - (2)/(x) y = x

Então:

P (x) = - (2)/(x) , Q (x) = x

Agora já podemos resolver usando fator integrante, show?

Passo 2

Show! O fator integrante é dado pela fórmula:

I (x) = e^(int P (x) d x) = e^(int - (2)/(x) d x) = e^(- 2 ln |x|) = e^(ln |x|^(- 2)) = |x|^(- 2) = (1)/(x^2)

Multiplicamos, então, nossa equação pelo fator integrante:

y^' ((1)/(x^2)) - (2)/(x) y ((1)/(x^2)) = x ((1)/(x^2))

Repare que o lado esquerdo da equação equivale à derivada de um produto:

y^' ((1)/(x^2)) + y (- (2)/(x^3)) = (y (1)/(x^2))^'

Então nossa equação fica:

((y)/(x^2))^' = (1)/(x)

Passo 3

Show! Agora é só integrar:

(y)/(x^2) = int (1)/(x) d x + C

(y)/(x^2) = ln |x| + C

y = x^2 ln |x| + C x^2

Feshow!

Resposta

y = x^2 ln |x| + C x^2

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