Resolva a equação

p) y¨ + ay = 0, a > 0 é uma constante

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que y = e λ t → y ˙ = λ e λ t → y ¨ = λ 2 e λ t , assim:

y ¨ + a y = 0 → λ 2 e λ t + a e λ t = e λ t λ 2 + a = 0

e λ t λ 2 + a = 0 → λ 2 + a = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

λ ' e   λ " =   - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Para o caso dado só temos a = 1 ,   b = 0   e   c = a , assim:

λ ' e   λ " =   - 0 ± 0 2 - 4 1 a 2 1 = ± - 4 a 2  

Passo 2

Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que i 2 = - 1 :

± 4 a i 2 2 = ± a ( 2 i ) 2 2 = ± 2 a 2 i = ± a i  

Passo 3

Identificados os valores de   λ , podemos Agora reescrever o y pelo teorema que diz que se temos duas raízes λ 1   e   λ 2 da equação característica (ou seja, a função λ 2 + b λ + c = 0 ), então se λ 1 e   λ 2 são números complexos podemos afirmar que:

y t = e α t A cos ⁡ β t + B sin ⁡ β t   A ,   B   ϵ R

Lembrando que: λ = α ±   β i

Para o nosso caso: α = 0   e   β = a  

Assim, substituindo os valores de α   e   β :

y t = e 0 t A cos ⁡ a t + B sin ⁡ a t   = A cos ⁡ a t + B sin ⁡ a t  

Resposta

y t = A cos ⁡ a t + B sin ⁡ a t  

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