Resolva a equação sen^2(x) + sen^4(x) + sen^6(x) = 3

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo joia?

Para resolver esse sistema vamos identificar qual o menor termo que essa equação pode ser reescrita. Usando esse termo iremos substitui-lo por uma variável qualquer e realizar as contas a partir dela. A solução encontrada será e relação a nossa nova equação, por isso precisamos voltar com a substituição feita inicialmente para obter a solução final da questão.

Vamos lá!

Passo 2

Reescrevendo a equação em termos de seno ao quadrado.

sen 2 ⁡ x +   sen 2 ⁡ x 2 + sen 2 ⁡ x 3 = 3

Agora, vamos substituir esse fator por y . Assim:

y = sen 2 ⁡ x  

y +   y 2 + y 3 = 3

Fatorando a equação obtemos:

y + 1 y 2 + 2 y + 3 = 3

y = 1

Precisamos voltar para as variáveis iniciais do problema. Lembrando que y = sen 2 ⁡ x . Então:

y = 1 = sen 2 ⁡ x

sen 2 ⁡ x = 1

sen ⁡ x = 1

sen ⁡ x = ± 1

Aplicando a função inversa, arco seno, temos:

x = arcsen ⁡ ± 1

Queremos saber: qual o arco (ângulo) cujo seno é ± 1 ?

Esse valor de seno é atingido pelos ângulos π 2 , 3 π 2 e seus múltiplos. Assim, podemos representar o x por:

x = π 2 + k π   → x = π 1 2 + k

Encontramos a solução!

Resposta

x = π 1 2 + k

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