Resolva o problema de valor inicial 2xy' + y = 6x, x > 0, y(4) = 20 .

Passo 1

Dividindo ambos os termos por 2 x , temos y ' + 1 2 x y = 3 então a EDO é linear, com P x = 1 2 x e Q x = 3 .

Passo 2

Lembrando que o fator integrante é dado por I x = e ∫ P x d x , ou seja I x = e ∫ 1 2 x t d t = e ln ⁡ x 2 = x 1 2 .

Passo 3

Sabendo que dado o fator integrante I ( x ) , a solução y ( x ) é dada por y x = 1 I ( x ) ∫ I x Q x d x + C . Já sabemos que I x = x 1 2 e que Q x = 3 .

Passo 4

Então precisamos calcular ∫ x 1 2 ⋅ 3 d t = 3 ∫ x 1 2 d t = 2 3 ⋅ 3 x 3 2 = 2 x 3 2 . Então y x = 1 x 1 2 2 x 3 2 + C .

Passo 5

Sabemos que y 4 = 20 . Então 1 4 1 2 2 ⋅ 4 3 2 + C = 20 . segue que C = 24

Resposta

y x = 1 x 1 2 2 x 3 2 + 24

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