Enunciado

Resolva as equações diferenciais

(d u)/(d t) = (1 + t^4)/(u t^2 + u^4 t^2)

Passo 1

Vamos resolver mais uma equação diferencial? Então, bora!

Nessa questão, temos que resolver a seguinte equação:

(d u)/(d t) = (1 + t^4)/(u t^2 + u^4 t^2)

O primeiro passo é separar as variáveis, ou seja, tudo que tem u , eu vou colocar no lado esquerdo da equação junto com d u e tudo que tem t , eu vou deixar no lado direito da equação junto com d t que eu vou passar para lá multiplicando.

Feito isso, é só integrar de cada lado e correr pro abraço!

Passo 2

Para tentar separar nossas variáveis, vamos começar multiplicando cruzado:

(u t^2 + u^4 t^2) d u = (1 + t^4) d t

Agora, precisamos tirar a variável t que acabou ficando do lado esquerdo. Para isso, vamos coloca-la em evidência.

t^2 (u + u^4) d u = (1 + t^4) d t

E como o t^2 está do lado esquerdo multiplicando, vamos passa-lo para o outro lado dividindo.

(u + u^4) d u = ((1)/(t^2) + t^2) d t

Show de bolê! Agora é só integrar dos dois lados.

Passo 3

Aplicando a integral dos dois lados, vamos ficar com:

int (u + u^4) d u = int ( (1)/(t^2) + t^2 ) d t

E isso daí é integral de polinômio!

Melzinho na chupeta! Vem comigo...

Só lembrando que (1)/(t^2) = t^(- 2)

int (u + u^4) d u = int ( t^(- 2) + t^2 ) d t

(u^2)/(2) + (u^5)/(5) = (t^(- 1))/(- 1) + (t^3)/(3)

Reescrevendo e colocando a nossa constante nossa de todo dia que não pode faltar numa integral indefinida...

(u^2)/(2) + (u^5)/(5) = - (1)/(t) + (t^3)/(5) + C

Como essa função não dá pra ser reescrita de forma que u fique exposto, encerramos por aqui! Até a próxima

Resposta

(u^2)/(2) + (u^5)/(5) = - (1)/(t) + (t^3)/(5) + C

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