Enunciado

Resolva o Exemplo 1 desta secção se o ponto C estiver a 6 km rio abaixo de B .

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

  1. Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
  2. Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a 0 e os valores onde ela não existe.
  3. A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

Como o exemplo já tem a equação que relaciona o preço total a x (que é a distância B P ) só precisamos mudar os parâmetros. Vamos mudar a distância de C até P , que ao invés de 2 - x , será 6 - x . Então vamos ficar com:

C x = 5 4 k 3 2 + x 2 + k 6 - x

Essa é a equação que queremos minimizar!

Passo 3

Agora precisamos derivar essa função e a achar seus valores extremos. Repare que o domínio da função é 0 ,   6 .

Derivando:

d C d x = 5 k x 4 9 + x 2 - k

Perceba que como só mudamos uma constante na equação do exemplo anterior, então a derivada é igual à da função anterior. Como a derivada é a mesma, vamos ter as mesmas raízes:

x = ± 4

Mas podemos desconsiderar o - 4 , já que ele não faz parte do nosso domínio.

Passo 4

Então temos 3 pontos para analisar: x = 0 ,   x = 4   e   x = 6 . O ponto que nos retornar a menor imagem será o mínimo que queremos!

C 0 = 5 4 k 3 2 + 0 2 + k 6 - 0 = 9.75 k

C 4 = 5 4 k 3 2 + 4 2 + k 6 - 4 = 8.25 k

C 6 = 5 4 k 3 2 + 6 2 + k 6 - 6 ≅ 8.39 k

Como x = 4 nos retornou o menor valor de C , então o ponto de mínimo é para x = 4 .

Resposta

De A a P a C , onde P fica a 4 km abaixo de B .

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