Enunciado

Quais são as dimensões da lata mais leve em forma de cilindro reto, sem tampa, que pode conter 1000 c m 3 ? Compare o resultado com o exemplo 2

Passo 1

A latas mais leve vai ser aquela que tem menor área do geral. A massa dela depende das chapas de metal que vão ser usadas na fabricação.

Essa área é a área lateral mais a área da base, sem tampa como ele disse. Entao:

A = 2 π r h + π r 2

Ele disse que o volume é sempre 1000 , então:

π r 2 h = 1000

Isolando o h

h = 1000 π r 2

A nossa área fica:

A = 2 π r 1000 π r 2 + π r 2

A = 2000 r + π r 2

Onde o raio é maior que 0

r > 0

Não pode ser 0 porque r está no denominador.

Passo 2

Para acharmos o valor de mínimo ou máximo, temos que comparar o valor da função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo.

Começando por achar os pontos críticos:

A = 2000 r + π r 2

Colocando a fração como potência:

A = 2000 r - 1 + π r 2

A espessura é constante, então não interfere na derivada.

Derivando:

A ' = - 2000 r - 2 + 2 π r

Fazendo isso igual a 0

- 2000 r - 2 + 2 π r = 0

2000 r 2 = 2 π r

Cortando o 2 dos dois lados

1000 r 2 = π r

r 3 = 1000 π

r = 10 π 3

Passo 3

Vamos achar o valor da função nos pontos críticos e extremos do intervalo:

A = 2000 r + π r 2

Ele só deu a limitação em 0 certo? Quer dizer que a outra limitação é o infinito.

r = 0 → A = π 0 2 + 2000 0 = ∞

r = 10 π 3 → A = π 10 π 3 2 + 2000 10 π 3 = 100 π 3 + 200 π 3 = 300 π 3

r = ∞ → A = π ∞ 2 + 2000 ∞ = ∞ + 0 = ∞

O menor dos 3 valores é quando r = 10 π 3

Então vamos ter

r = 10 π 3

E

h = 1000 π 10 π 3 2 = 1000 100 π π 2 3 = 10 π 3

Resposta

r = 10 π 3

E

h = 10 π 3

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