Enunciado

Resolva o Exemplo 3 da Seção 8.1, mostrando que a r c s e n   x e - arccos ⁡ x diferem por uma constante e então calcule-a.

Passo 1

A questão pede para provarmos a relação do exemplo 3 da seção 8.1:

arccos ⁡ x = π 2 - a r c s e n   x

Na seção 8.1 isso é demonstrado usando a relação s e n   x + π 2 = cos ⁡ x . Agora é pedido que mostremos que as funções f x = a r c s e n   x e g x = - arccos ⁡ x diferem por uma constante.

Ora, para isso basta derivarmos as duas funções:

f ' x = a r c s e n   x ' = 1 1 - x 2

g ' x = - arccos ⁡ x ' = - - 1 1 - x 2 = 1 1 - x 2

Vemos então que f ' x = g ' ( x ) para todo x tal que x < 1 . Bom, sabemos que se duas funções têm a mesma derivada, então elas diferem por uma constante:

f x = g x + C

Assim,

a r c s e n   x = - arccos ⁡ x + C

Portanto,

arccos ⁡ x + a r c s e n   x = C ,

o que vale para todo x < 1 .

Passo 2

Como a relação deve valer para todo x < 1 , vamos chutar um valor específico de x para descobrirmos o valor de C . Com x = 1 / 2 :

C = arccos ⁡ 1 2 + a r c s e n 1 2 = π 3 + π 6 = 3 π 6 = π 2

Assim, temos que para todo x < 1 :

arccos ⁡ x + a r c s e n   x = π 2

Logo,

arccos ⁡ x = π 2 - a r c s e n   x

Essa é exatamente a relação que queríamos mostrar!

Resposta

Demonstração.

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