Enunciado

Resolva o Exercício 11 se o ponto C estiver a 7 km de B .

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

  1. Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
  2. Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a 0 e os valores onde ela não existe.
  3. A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

Vamos utilizar o mesmo princípio do exercício 11 para resolver. Do mesmo jeitinho. Vamos mudar o nosso desenho, já que agora a distância entre B C é diferente. O nosso mapa vai ficar assim:

Cada quadradinho representa 1km. Vamos chamar a distância B P de x e tentar encontrar a equação que relaciona o caminho total e o preço de cada transporte. Perceba que temos um triangulo retângulo A B P com um ângulo reto em B . Então A P será a hipotenusa do triangulo e por Pitágoras podemos escrevê-la como:

A P = x 2 + A B 2

Mas sabemos que A B = 6 . Então:

A P = x 2 + 36

Essa é a distância que a mulher andará de barco, para calcular o preço total, ficamos com 15 x 2 + 36 , já que custa $ 15 por quilômetro de barco.

Passo 3

Agora vamos para a parte terrestre. A distância que sobra para a mulher andar de carro é o trecho P C , que podemos escrever como 7 - x . Já que 7   é a distância total e x é o ponto onde ela desceu do barco e vai pegar o carro.

P C = 7 - x

E como custa $ 12 por quilômetro de carro, o preço na terra fica 12 7 - x .

Agora vamos somar os dois preços e teremos a equação do preço total, que é o que queremos!

P x = 15 x 2 + 36 + 12 7 - x

Agora sim! Podemos derivar a função e encontrar o seu mínimo igualando a sua derivada a 0 ou verificando onde ela não existe.

Passo 4

Derivando P :

d P d x = 15 1 2 x 2 + 36 ∙ 2 x - 12

d P d x = 15 x x 2 + 36 - 12

Repare que a derivada foi a mesma da função do exercício 11.

Perceba que a derivada não existe em x = 6 . Vamos guardar esse ponto para comparar depois a função original. Igualando a derivada a 0 :

15 x x 2 + 36 - 12 = 0

15 x x 2 + 36 = 12

15 x = 12 x 2 + 36

15 x 2 = 12 x 2 + 36 2

225 x 2 = 144 x 2 + 36

81 x 2 = 5184

x 2 = 64

x = 8

Saca só olhando pro desenho: o x pode ser qualquer valor desde 0 até 7 , certo? É o mesmo que dizer que x pode ir de B até C . Então o intervalo fechado que estamos considerando é 0 ,   7 . Então podemos descartar esse valor que encontramos para a derivada igual a 0 , já que x = 8 não pertence ao nosso domínio.

Passo 5

Temos 3 pontos para calcular o valor da função: x = 0 , x = 6 e x = 7 ; que são os valores dos limites do intervalo e o valor para o qual a derivada não existe. Vamos calcular P para cada um desses valores:

P 0 = 15 0 2 + 36 + 12 7 - 0 = 174

P 6 = 15 6 2 + 36 + 12 7 - 6 ≈ 139.28

P 7 = 15 7 2 + 36 + 12 7 - 7 ≈ 138.29

O mais barato então é fazer todo o percurso de barco!

Resposta

O percurso mais barato é fazer todo ele de barco.

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