Enunciado

Ache as dimensões do maior jardim retangular, de forma que uma casa limite um lado do jardim e 100 m de cerca sejam usados.

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

  1. Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
  2. Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a 0 e os valores onde ela não existe.
  3. A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

Vamos equacionar tudo que o problema nos dá: a área e a quantidade de cerca.

A x ,   y = 2 x ∙ 2 y

Onde x é o comprimento do jardim e y a largura.

Vamos considerar que a casa está do lado da largura do jardim. Daí ficamos com o seguinte perímetro:

100 = 2 x + y

Agora podemos isolar o y e isolarmos a relação que acharmos na equação da área do jardim.

y = 100 - 2 x

Substituindo:

A x = 2 x 100 - 2 x

A x = 200 x - 4 x 2

Agora é só derivar essa equação e achar o valor onde a derivada se iguala é nula!

Passo 3

Derivando:

d A d x = 200 - 8 x

Igualando isso a 0 :

200 - 8 x = 0

8 x = 200

x = 25

Temos o valor de um dos lados do jardim!

Passo 4

Podemos substituir isso na segunda equação que temos. Assim:

y = 100 - 2 x

Só que o x que maximiza a nossa área é x = 25 . Substituindo:

y = 100 - 2 25

y = 50

Resposta

25   m por 50   m

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