Enunciado

Uma folha de papel retangular 8,5 × 11   p o l . É colocada sobre uma superfície plana. Um dos vértices é colocado no lado maior oposto, como mostra a figura, e deixado lá enquanto a folha está aplanada. O problema é tornar o comprimento do vinco o menor possível. Chamamos esse comprimento de L . Experimente fazer isso com papel.

a ) Demonstre que L 2 = 2 x 3 2 x - 8,5

b ) que valor de x minimiza L 2 ?

c ) Qual é o valor mínimo de L ?

Passo 1

A primeira coisa que temos que ficar atentos é que aquele ponto R não fica no topo da folha.

Temos que o triângulo P B Q é retângulo em B , então:

Q B 2 + P B 2 = P Q 2

Além disso, o triângulo R Q P é retângulo em Q , porque é o mesmo ângulo do canto da folha já que ela foi dobrada.

P Q 2 + Q R 2 = P R 2

O triângulo R H Q também é retângulo, também vamos aplicar Pitágoras ali:

R H 2 + H Q 2 = Q R 2

Juntando essas 3 equações, vamos ter:

Q B 2 + P B 2 = P Q 2

P Q 2 + Q R 2 = P R 2

R H 2 + H Q 2 = Q R 2

Se somarmos as 3 , vamos ter:

Q B 2 + P B 2 + P Q 2 + Q R 2 + R H 2 + H Q 2 = P Q 2 + P R 2 + Q R 2

Q B 2 + P B 2 + R H 2 + H Q 2 = P R 2

Ele deu que

P R = L

P A = x → P B = 8,5 - x

R H = 8,5

Falta acharmos Q B , isso porque temos:

H Q = A R - Q B

E ele disse na figura que

A R = L 2 - x 2

Passo 2

Pelo triângulo P Q B , vamos ter:

P B 2 + Q B 2 = P Q 2

8,5 - x 2 + Q B 2 = x 2

8,5 2 - 17 x + x 2 + Q B 2 = x 2

Q B 2 = 17 x - 8,5 2

Agora, temos que:

H Q = A R - Q B

H Q = L 2 - x 2 - 17 x - 8,5 2

Passo 3

Vamos juntar toda essa zona:

17 x - 8,5 2 + 8,5 - x 2 + 8,5 2 + L 2 - x 2 - 17 x - 8,5 2 2 = L 2

17 x - 8,5 2 + 8,5 2 - 17 x + x 2 + 8,5 2 + L 2 - x 2 - 17 x - 8,5 2 2 = L 2

x 2 + 8,5 2 + L 2 - x 2 - 17 x - 8,5 2 2 = L 2

x 2 + 8,5 2 + L 2 - x 2 - 2 L 2 - x 2 17 x - 8,5 2 + 17 x - 8,5 2 = L 2

2 L 2 - x 2 17 x - 8,5 2 = 17 x

Elevando tudo ao quadrado:

4 L 2 - x 2 ( 17 x - 8,5 2 ) = 17 2 x 2

Vamos dividir a equação pelo termo sem L :

L 2 - x 2 = 17 2 x 2 4 17 x - 8,5 2

L 2 = x 2 + 17 2 x 2 4 17 x - 8,5 2

L 2 = 68 x 3 - 289 x 2 + 289 x 2 4 17 x - 8,5 2

L 2 = 17 x 3 17 x - 8,5 2

L 2 = 17 x 3 17 x - 17 2 2

L 2 = 17 x 3 17 x - 17 2 4

Simplificando 17 em todos os termos:

L 2 = x 3 x - 17 4

L 2 = x 3 4 x - 17 4

L 2 = 4 x 3 4 x - 17

Se dividirmos todo mundo por 2 , vamos achar o que ele pediu.

Onde x vai de 0 até 8,5 .

Ateção que esse demoninador não pode ser 0 , então

4 x - 17 ≠ 0

x ≠ 17 4

E o x não pode ser 0 , se não não teremos dobra.

Passo 4

Letra b

Para acharmos o valor de mínimo ou máximo, temos que comparar o valor da função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo.

Primeiro fazemos:

f x = L 2 = 4 x 3 4 x - 17

Derivando f x , usando a regra do quociente:

f ' = 4 x 3 ' 4 x - 17 - 4 x 3 4 x - 17 ' 4 x - 17 2

f ' = 12 x 2 4 x - 17 - 4 x 3 4 4 x - 17 2

f ' = 12 x 2 4 x - 17 - 16 x 3 4 x - 17 2

f ' = 48 x 3 - 204 x 2 - 16 x 3 4 x - 17 2

f ' = 32 x 3 - 204 x 2 4 x - 17 2

Fazendo isso igual a 0

32 x 3 - 204 x 2 4 x - 17 2 = 0

32 x 3 - 204 x 2 = 0

Colocando x 2 em evidência:

x 2 32 x - 204 = 0

x = 0       o u       32 x - 204 = 0

Teremos:

x = 0

x = 51 8

Além disso, temos que ver o valor que a derivada não existe, que é quando o denominador é 0 :

4 x - 17 = 0

x = 17 4

Mas o próprio L 2 não vai existir nesse ponto como vimos antes.

Passo 5

Vamos achar o valor da função nos pontos críticos e extremos do intervalo:

L 2 = 4 x 3 4 x - 17

Vamos ter:

x = 51 8 → L 2 = 7803 64

x = 17 2 → L 2 = 289 2

O menor dos 2 valores x = 51 8 ,

Passo 6

Letra c

O valor mínimo de L acontece quando acontece o valor mínimo de L 2

L 2 = 7803 64

L = 51 3 8

Resposta

x = 51 8

L = 51 3 8

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