Enunciado

A intensidade da iluminação em qualquer ponto de uma fonte de luz é proporcional ao quadrado da recíproca da distância entre o ponto e a fonte de luz.

Duas luzes, uma tendo 8 vezes a intensidade da outra, estão 6 metros afastadas uma da outra. Qual é a distância da luz mais forte em que a iluminação total é mínima?

Passo 1

Vamos lá, chamando a distância de d , o que ele disse da intensidade da iluminação é:

I = k d 2

Isso que significa ser proporcional ao quadrado da recíproca. A recíproca é o inverso.

Com otemos duas fontes, a intensidade total vai ser:

I = I 1 + I 2

Chamando de x a distância da fonte 1 , a distância da fonte 2 para um ponto vai ser 6 - x .

Então:

I 1 = k 1 x 2

E

I 2 = k 2 6 - x 2

E ele disse que a intensidade de uma é 8 vezes a da outra. Isso para distâncias iguais. Isso vai nos dizer que

k 1 = 8 k 2

Assim a intensidade total será:

I = 8 k 2 x 2 + k 2 6 - x 2

Onde o x vai se 0 até 6

Passo 2

Para acharmos o valor de mínimo, temos que comparar o valor da função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo.

Começando por achar os pontos críticos:

I ' = 0

Antes de derivarmos vamos escrever aquelas frações como potência:

I = 8 k 2 x - 2 + k 2 6 - x - 2

Vamos derivar e achar:

I ' = - 16 k 2 x - 3 - 2 k 2 6 - x - 3 - 1

I ' = - 16 k 2 x - 3 + 2 k 2 6 - x - 3

Fazendo isso igual a 0

- 16 k 2 x - 3 + 2 k 2 6 - x - 3 = 0

8 x - 3 = 6 - x - 3

8 x 3 = 1 6 - x 3

8 6 - x 3 = x 3

2 6 - x = x

12 - 2 x = x

3 x = 12

x = 4

Passo 3

Vamos achar o valor da função nos pontos críticos e extremos do intervalo:

I = 8 k 2 x 2 + k 2 6 - x 2

x = 0 → I = 8 k 2 0 2 + k 2 6 - 0 2 = ∞ + k 2 6 2 = ∞

x = 6 → I = 8 k 2 6 2 + k 2 6 - 6 2 = 8 k 2 6 2 + ∞ = ∞

x = 4 → 8 k 2 4 2 + k 2 6 - 4 2 = 2 k 2 + k 2 2 2 = 9 k 2 4

O menor valor dos 3 é quando x = 4 , então ele é o valor de mínimo.

Resposta

4

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