Enunciado

Resolva o Exercício 6, supondo o retângulo posicionado conforme a figura Ex-7.

Enunciado da questão 6:

Um retângulo deve ser inscrito em um triângulo retângulo com lados de comprimento 6, 8 e 10 cm. Encontre as dimensões do retângulo com a a maior área, supondo que ele está posicionado conforme a Figura Ex-6.

Passo 1

Esse é um típico exercício de otimização. O cálculo diferencial é uma ferramenta que nos ajuda muito na resolução desses casos, tão recorrentes no dia a dia.

Sempre esses exercícios precisam da sua boa interpretação de texto. No caso, queremos inserir um retângulo com a maior área possível, em uma posição específica, dentro do triângulo retângulo dado. Como fazer isso?

Passo 2

Comecemos por nomear nossas incógnitas. Vamos chamar de x e y os lados do retângulo da seguinte forma:

y

x

Como a gente quer a maior área possível pra esse retângulo, já escrevemos a expressão pra área dele, pois iremos usá-la! Temos pra área A desse retângulo:

A = x ∙ y

Aqui o problema é que A está em função de duas incógnitas, mas, pra trabalhar essa função e achar seu valor máximo, precisamos escrever ela em função de uma só incógnita. Vamos fazer isso da seguinte forma:

y

x

b

8 - b

a

6 - a

Agora vamos trabalhar com as novas incógnitas a e b , de forma a estabelecer entre elas uma relação com as dimensões x e y que ainda não conhecemos.

Por semelhança de triângulos, trabalhando no maior triângulo formado entre o retângulo e o cateto de comprimento 6 cm, escrevemos:

x 6 - a = 8 10

4 a = 24 - 5 x

a = 6 - 5 x 4

Agora, no menor triângulo formado entre o retângulo e o cateto de comprimento 6 cm, temos:

b y = 8 10

5 b = 4 y

b = 4 y 5

Passo 3

Podemos agora aplicar Pitágoras no mesmo triângulo trabalhado no último passo do Passo 2. Pra ele, escrevemos o seguinte:

y 2 = a 2 + b 2

Substituímos em a e b as expressões que encontramos pra eles, em função de x e y , e teremos:

y 2 = 6 - 5 x 4 2 + 4 y 5 2

Trabalhamos um pouco essa expressão. Vamos ter:

y 2 - 16 y 2 25 = 6 - 5 x 4 2

9 y 2 25 = 6 - 5 x 4 2

9 y 2 25 = 6 - 5 x 4 2

3 y 5 = 6 - 5 x 4

3 y = 30 - 2 5 x 4

y = 10 - 2 5 x 12

Nisso, conseguimos uma expressão pra y que o escreve em função de x . Dessa forma, podemos pegar a expressão pra área do retângulo e escrever essa expressão que achamos no lugar de y . Daí, determinamos a área em função apenas de x !

Passo 4

Pra nova expressão da área, teremos:

A x = x ∙ 10 - 25 x 12

A x = 10 x - 25 x 2 12

Agora temos uma função que descreve a nossa área. Por nossos conhecimentos de funções, A ( x ) é descrita por uma parábola com concavidade voltada pra baixo. Logo, tem um ponto de máximo!

É esse ponto de máximo da área, desescrita em função de um de seus lados (lado x ), que a gente precisa determinar. E como fazer isso?

Se você ainda não sabe, ou talvez não lembre, mas um dos teoremas do Cálculo (Teorema de Fermat) diz que, nos pontos de máximo e de mínimo de uma função (quando possui) a derivada se anula.

Logo, podemos pegar A ( x ) , derivar e igualar a zero! O valor de x que acharmos atribuído a essa derivada nula vai ser o ponto em que a função assume o valor máximo. Em outras palavras, vamos achar o valor de x , um dos lados do retângulo, que nos dá a maior área possível!

Passo 5

Derivando, temos:

A ' x = 10 - 25 x 6

Igualamos isso a zero:

10 - 25 x 6 = 0

25 x 6 = 10

25 x = 60

x = 2,4

Então, esse é o valor de x , lado do retângulo, que vai possibilitar a maior área possível.

Temos x , mas ainda precisamos de y . Calculamos facilmente pela primeira equação!

y = 10 - 25 ∙ 2,4 12

y = 10 - 60 12

y = 5

Resposta

São as dimensões x = 2 , 4   c m e y = 5   c m .

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