Enunciado

Encontre o ponto P do primeiro quadrante que pertença à curva y = x - 2 tal que um retângulo com lados nos eixos coordenados e um vértice em P tenha o menor perímetro possível.

Passo 1

Uma imagem pode nos ajudar a raciocinar melhor sobre qual é a nossa situação:

Esse é um típico exercício de otimização. O cálculo diferencial é uma ferramenta que nos ajuda muito na resolução desses casos, tão recorrentes no dia a dia.

Nesse caso, queremos inserir um retângulo com o menor perímetro possível sob essa curva, de forma que os lados do retângulo coincidam com os eixos x e y , e esteja no primeiro quadrante.

Passo 2

Temos que o perímetro é a soma dos lados do retângulo, que podemos chamar de x , a base, e y , a altura. Assim, escrevemos a equação pro perímetro L :

L = 2 ∙ ( x + y )

Nisso, precisamos escrever o perímetro desse retângulo em função apenas de uma variável. No caso, vamos buscar escrever apenas em função de x , pra termos uma L ( x ) .

Como correlacionamos x e y então? Bom, eles já estão correlacionados, pela própria equação da curva!

Temos que:

y = x - 2 = 1 x 2

Assim, substituímos essa expressão de y na equação do perímetro e vamos obter L ( x ) . Teremos:

L x = 2 ∙ x + 1 x 2

L x = 2 ∙ 1 + x 3 x 2

Passo 3

Agora temos uma função que descreve nosso perímetro.

Queremos o ponto de mínimo, que vai nos dar o menor perímetro. E como fazer isso?

Se você ainda não sabe, ou talvez não lembre, mas um dos teoremas do Cálculo (Teorema de Fermat) diz que, nos pontos de máximo e de mínimo de uma função (quando possui) a derivada se anula.

Logo, podemos pegar L ( x ) , derivar e igualar a zero! Os valores de x que acharmos atribuídos a essa derivada nula vão ser os pontos de máximo e mínimo.

Nisso, cabe a nós distinguir qual é qual, aplicando esses valores na função original e verificando qual nos dá o menor valor. Vai ser esse o nosso ponto de mínimo!

Passo 4

Derivando, temos:

L ' x = 2 x 3 - 4 x 3

Igualamos isso a zero:

2 x 3 - 4 x 3 = 0

2 x 3 - 4 = 0

2 x 3 = 4

x 3 = 2

x = 2 3

Assim, esse é nosso ponto de derivada nula da função, que é o nosso ponto de mínimo. Assim, esse seria o tamanho da base do retângulo de menor perímetro que atende às condições pedidas. Então, equivale à coordenada x do ponto P !

Ainda precisamos de y . Conseguimos obtê-lo pela equação da curva. Teremos:

y = 1 2 3 2 = 1 4 3

Assim, essa é a coordenada y do ponto P , que é o ponto vértice do retângulo de menor perímetro cujos lados pertencem aos eixos coordenados, sob a curva y = x - 2 .

Resposta

São as coordenadas x = 2 3 e y = 1 4 3

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