Enunciado

1 – 12. Resolva os Exercícios de 5 a 16 da seção 6.1 pelo método do invólucro cilíndrico.

Nos Exercícios, ache o volume do sólido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em torno da reta indicada. Uma equação da curva na figura é y 2 = x 3

3. OAC em torno da reta BC

Passo 1

Como essa figura está girando em torno da reta BC, nossa casca cilíndrica imaginária estaria na horizontal e a espessura da casca cilíndrica é dy, então temos que:

d V = 2 π r h ⋅ d y

Então como o d V depende de d y precisamos achar r e h em termos de y.

Assim:

r = 8 - y           h = 4 - y 2 3

Logo:

V = 2 π ∫ 0 8 ( 8 - y ) ( 4 - y 2 3 ) d y

Os limites de integração são esses já que y varia de 0 a 8 na região limitada.

Passo 2

Agora basta resolver a integral.

V = 2 π ∫ 0 8 ( 8 - y ) ( 4 - y 2 3 ) d y

= 2 π ∫ 0 8 32 - 8 y 2 3 - 4 y + y 5 3 d y

= 2 π 32 ∫ 0 8 d y - 8 ∫ 0 8 y 2 3 d y - 4 ∫ 0 8 y d y + ∫ 0 8 y 5 3   d y

= 2 π 32 ⋅ y 0 8 - 8 ⋅ 3 5 y 5 3 0 8 - 4 ⋅ y 2 2 0 8 + 3 8 y 8 3 0 8  

= 2 π 32 8 - 0 - 8 3 5 8 5 3 - 0 - 4 1 2 8 2 - 0 + 3 8 8 8 3 - 0

= 2 π 256 - 8 3 5 32 - 4 1 2 64 + 3 8 256

= 2 π ( 256 - 153,6 - 128 + 96 )

= 2 π 70,4 = 140,8 π

Resposta

V = 140,8 π

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