Enunciado

Na Figura abaixo, a região limitada pelo eixo x, pela reta x = 1 e pela curva y = x 2 é denotada por R1; a região limitada pelas curvas y = x 2 e y 2 = x é denotada por R2; a região limitada pelo eixo y, pela reta y = 1 e pela curva y 2 = x é denotada por R3. Nos Exercícios de 13 a 20, ache o volume do sólido gerado pela rotação da região indicada em torno da reta dada.

18. O mesmo que o Exercício 17, mas os elementos retangulares são perpendiculares ao eixo de revolução.

Passo 1

O enunciado pede para fazermos igual a questão 17, mas com elementos retangulares perpendiculares ao eixo de revolução que no caso é o eixo da reta y = 2 .

Região R3:

Pode se ter uma ideia do que o enunciado quis dizer com elemento retangular nas figuras 7 e 9 no capítulo 6, seção 2 do livro.

O enunciado pede que os elementos retangulares sejam perpendiculares ao eixo da reta y = 2 de rotação, para satisfazer isso a melhor opção para usarmos é o método dos anéis circulares, então nosso anel circular estaria na vertical e a espessura do anel é dx, então temos que:

d V = π ( R 2 - r 2 ) ⋅ d x

Onde R é o raio maior do anel e r é o raio menor.

Então como o d V depende de d x precisamos achar R e r como funções da forma f ( x ) .

Assim:

r = 2 - 1         R = 2 - x

Logo:

V = π ∫ 0 1 2 - x 2 - 1 2 d x

Os limites de integração são esses já que x varia de 0 a 1 na região R3 limitada.

Passo 2

Agora resolvendo a integral.

V = π ∫ 0 1 2 - x 2 - 1 2 d x

= π ∫ 0 1 ( 4 - 4 x + x - 1 ) d x

= π 3 ∫ 0 1 d x - 4 ∫ 0 1 x 1 2   d x + ∫ 0 1 x   d x

= π 3 x ​ 0 1 - 4 2 x 3 2 3 0 1 + x 2 2 0 1

= π 3 1 - 0 - 4 2 3 1 - 0 + 1 2 1 - 0

= π 3 - 8 3 + 1 2 = 5 π 6

Resposta

V = 5 6 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

1 – 12. Resolva os Exercícios de 5 a 16 da seção 6.1 pelo método do invólucro cilíndrico.Nos Exercícios, ache o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno da reta indicada, da região
Na Figura abaixo, a região limitada pelo eixo x, pela reta x = 1 e pela curva y = x 2 é denotada por R1; a região limitada pelas curvas y = x 2 e y 2 = x é denotada por R2; a região limitada pelo eixo
Um sólido de revolução é formado quando a região limitada pela curva y = x 3 , pelo eixo x e pela reta x = c ( c0 ) gira em torno do eixo y . Tome os elementos de área retangulares paralelos ao eixo d
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região fora da curva y = x 2 e entre as retas y = 2 x - 1 e y = x + 2 em torno do eixo y .
Ache o volume do solido gerado por rotação, em torno do eixo x da região limitada pela curva y = x 4 , a reta x= 1 e eixo x