Enunciado

Resolva a inequação

h ) (1 - x) (x^2 + 2 x + 2) < 0

Passo 1

Olá, tudo bem? Vou ajudar vocês nessa questão. Como temos uma multiplicação de dois fatores, precisamos fazer o estudo dos sinais separadamente para depois analisar a multiplicação. Lembrando que a multiplicação de dois fatores de sinais iguais dá um resultado positivo, sinais diferentes dá um resultado negativo:

(+) . (+) = (+)

(-) . (-) = (-)

(+) . (-) = ( - )

Ok?

Passo 2

Analisando o sinal de 1 - x :

1 - x = 0 :. x = 1

Então temos uma mudança de sinal em x = 1 . Agora vamos ver em torno:

  • Antes de x = 1 , por exemplo em x = 0 :
  • 1 > 0

    temos que a função assume valores positivos.

  • Depois de x = 1 , por exemplo em x = 2 :

1 - 2 < 0

temos que a função assume valores negativos.

Passo 3

Agora analisando o fator ( x^2 + 2 x + 2 ) . Resgatando o resultado do problema 12 temos que se um polinômio de segundo grau do tipo a x^2 + b x + c tiver Delta < 0 , então o sinal da equação será dado pelo sinal do coeficiente a .

Vamos confirmar se o Delta é mesmo negativo:

Delta = b^2 - 4 a c = 2^2 - 4.1 . 2 = - 4 < 0

Beleza! Então temos que o sinal de toda equação será dado pelo coeficiente a .

Nesse caso temos que a = 1 , então temos que a > 0 . Sendo assim, concluímos que x^2 + 2 x + 2 é maior do que zero independente do valor de x .

Passo 4

Agora vamos combinar os resultados:

Antes de x = 1 , o primeiro fator é positivo e o segundo é positivo, logo a multiplicação deles resultará em um valor positivo.

Depois de x = 1 , o primeiro fator é negativo e o segundo positivo, então a multiplicação deles resultará em um valor negativo.

Sendo assim, o intervalo de interesse será x > 1 .

Resposta

x > 1

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