Resolva a inequação.

x^2 >= r^2 , onde r > 0 é um real dado.

Passo 1

Olá, galerinha! Em outras palavras, o que a questão pede é para estudarmos o sinal da expressão. Para isso, vamos analisar o numerador e o denimonador separadamente.

Mas antes, vamor tentar manipular um pouco a expressão:

x 2 ≥ r 2 ↔ x 2 - r 2 ≥ 0

Se a gente escrever essa subtração de quadrados como um produto, nossa análise vai ser facilitada.

Vamos lembrar desse produto notável:

a 2 - b 2 = a + b a - b

Pronto, se encaixa direitinho na expressão. Aplicando:

x 2 - r 2 = x + r x - r

Substituindo na inequação temos:

x 2 - r 2 ≥ 0 ↔ x + r x - r ≥ 0

Agora vamos analisar cada fator separadamente!

Passo 2

Para x + r , temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < - r e assume valores positivos quando x > - r .

Para x - r temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < r e assume valores positivos quando x > r .

Passo 3

Vamos analisar agora a situação pedida através das duas imagens que achamos no passo anterior:

Temos que x + r x - r ≥ 0 , ou seja, o resultado será positivo, quando as duas expressões tiverem sinais iguais. Analisando as duas imagens vemos que isso acontece quando:

x ≤ - r ou x ≥ r

Resposta

x 2 ≥ r 2 para x ≤ - r ou x ≥ r

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