Enunciado

Resolva o problema 23 supondo que a solução seja drenada a uma taxa de 10 litros por minuto. Quando o tanque estará vazio?

Passo 1

Bora lá?

Lá na equação 11 do seu livro, ele fala que em problemas do tipo, temos:

d A d t = t a x a   d e   e n t r a d a   d o   s a l - t a x a   d e   s a í d a   d o   s a l = R 1 - R 2     ( I )

A taxa de entrada de sal é:

R 1 = 2 g L . 5 L m i n = 10   g / m i n

Depois de t minutos, temos 500 - 10 - 5 . t litros de água no tanque, então a taxa de saída é:

R 2 = A ( 500 - 10 - 5 . t ) g L . 10 L m i n = 10 A 5 0 0 - 5 t   g / m i n = 2 A 1 00 - t

Então, a equação ( I ) vai ser

d A d t = 10 - 2 A 100 - t

Como a água é pura, ou seja, não tinha sal a princípio, temos A 0 = 0

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d A d t + C t . A = B ( t ) , olha:

d A d t + 2 100 - t . A = 1 0     ( I I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

A t = 1 I t ∫ I t . B t   d t + c     ( I I I )

Onde I t = e ∫ C t   d t

Na nossa equação ( I I ) , temos C t = 2 100 - t e B t = 10 então:

I t = e ∫ 2 100 - t   d t

I t = e - 2 ln ⁡ | 100 - t |

I t = 1 ( 100 - t ) ²

Substituindo o que temos na equação ( I I I ) :

A t = 1 1 ( 100 - t ) ² ∫ 1 ( 100 - t ) ² . 10   d t + c

A t = ( 100 - t ) ² 10 100 - t + c

A t = 10 . 100 - t + c . ( 100 - t ) ²

A t = 1000 - 10 t + c . ( 100 - t ) ²

Agora vamos aplicar a condição inicial, beleza?

Passo 2

Temos

A t = 1000 - 10 t + c . ( 100 - t ) ²

Aplicando a condição inicial de que A 0 = 0   g   d e   s a l :

A 0 = 0 = 1000 - 10 . 0 + c . ( 100 - 0 ) ²

10000 c = - 1000

c = - 0,1

Então, a quantidade A ( t ) pode ser escrita assim:

A t = 1000 - 10 t - 0,1 . ( 100 - t ) ²

Agora vamos só ver quando tempo leva pra esvaziar beleza?

Passo 3

A quantidade de água no tanque é dada por

A t = 1000 - 10 t - 0,1 . ( 100 - t ) ²

Para sabermos quando o tanque esvazia, vamos ver em que tempo t temos A t = 0 :

0 = 1000 - 10 t - 0,1 . ( 100 - t ) ²

Abrindo o produto notável

1000 - 10 t - 0,1 . 100 2 - 2.100 . t + t 2 = 0

1000 - 10 t - 0,1 . 10000 - 200 . t + t 2 = 0

Agora vamos distribuir a multiplicação

1000 - 10 t - 1000 + 20 t - 0,1 t ² = 0

E então temos a equação:

- 1 10 t 2 + 10 t = 0

t . - 1 10 t + 10 = 0

E aí temos duas soluções:

t ' = 0

- 1 10 t ' ' + 10 = 0 → t ' ' = 100

Como t ' = 0 ta falando justamente da condição inicial, vamos ignorar

Então, o tanque esvazia em t = 100   m i n u t o s

E acabamos hehehe

Resposta

A t = 1000 - 10 t - 0,1 . ( 100 - t ) ²

Esvazia em t = 100   m i n u t o s

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