Enunciado

Um termômetro é removido de uma sala, em que a temperatura é de 70 ° F , e colocado do lado de fora, em que a temperatura é de 10 ° F . Após 0,5 minuto, o termômetro marcava 50 ° F . Qual será a temperatura marcada no termômetro no instante t = 1   m i n u t o ? Quanto tempo levará para o termômetro marcar 15 ° F ?

Passo 1

Bora bora

Nesse exercício vamos usar a lei do resfriamento de Newton ta bom?

Temos:

d T d t = k ( T - 10 )

Podemos escrever essa equação assim:

1 k ( T - 10 ) d T = d t

E aí integrando dos dois lados:

1 k . ln ⁡ T - 10 = t + c 2

ln ⁡ T - 10 = k ( t + c 2 )

e k ( t + c 2 ) = T - 10

Então:

T t = c 2 . e k t + 10

Passo 2

O problema fala pra gente que depois de 0,5 minuto, a temperatura é 50 ° F , então:

T 1 2 = 50 = c 2 . e k . 1 2 + 10

c 2 . e k 2 = 40

e k 1 2 = 40 c 2

e k = 40 c 2 2       ( I )

Ele também fala que a temperatura da sala era de 70 ° F , então temos que T 0 = 70

T 0 = 70 = c 2 . e k . 0 + 10

c 2 . 1 = 60

c 2 = 60

Substituindo esse valor de c 2 em ( I ) :

e k = 40 60 2

e k = 2 3 2

k = ln ⁡ 2 3 2

k = 2 . ln ⁡ 2 3

Substituindo k e c 2 na nossa equação, temos:

T t = 6 0 . e 2 . ln ⁡ 2 3 t + 10

Passo 3

Já temos nossa equação montadinha, agora precisamos saber, primeiramente, qual a temperatura em t = 1   m i n u t o ?

Então vamos calcular T ( 1 ) :

T 1 = 6 0 . e 2 . ln ⁡ 2 3 1 + 10

T 1 = 60 . e ln ⁡ 2 3 2 + 10

T 1 = 60 . 2 3 2 + 10

T 1 ≅ 36,6 ° F

E também queremos saber quanto tempo leva para o termômetro chegar em 15 ° F , ou seja, qual o tempo para que T t = 15 :

15 = 60 . e 2 . ln ⁡ 2 3 . t + 10

60 . e 2 . ln ⁡ 2 3 . t = 5

e 2 . ln ⁡ 2 3 . t = 5 60 = 1 12

2 . ln ⁡ 2 3 . t = ln ⁡ 1 12

t = ln ⁡ 1 12 2 . ln ⁡ 2 3

Fazendo a conta, encontramos que o tempo que falta para chegarmos em 15 ° F é:

t ≅ 3,06   m i n u t o s

Resposta

T 1 ≅ 36,6 ° F

t ≅ 3,06   m i n u t o s

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