Enunciado

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

y ' = 2 y + x 2 + 5

Passo 1

Bom galera vamos lá matar mais um exercício

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d y d x + A x . y = B ( x ) , olha:

y ' = 2 y + x 2 + 5

d y d x - 2 y = x 2 + 5       ( I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

y x = 1 I x ∫ I x . B x   d x + c     ( I I )

Onde I x = e ∫ A x   d x

Na nossa equação ( I ) , temos A x = - 2 e B x = x 2 + 5 então:

I x = e ∫ - 2   d x

I x = e - 2 x

Belezinha, já temos o nosso fator de integração

Passo 2

Agora que temos o fator de integração, vamos substituir o que temos na expressão ( I I ) :

y x = 1 e - 2 x ∫ e - 2 x . ( x 2 + 5 )   d x + c     ( I I I )

Vamos resolver a integral separadamente, temos

∫ e - 2 x . x 2 + 5 d x

Aplicando integral por partes com u = x 2 + 5 e d v = e - 2 x , temos d u = 2 x e v = - e - 2 x 2

∫ e - 2 x . x 2 + 5 d x = x 2 + 5 . - e - 2 x 2 - ∫ - e - 2 x 2 . 2 x     d x

∫ e - 2 x . x 2 + 5 d x = x 2 + 5 . - e - 2 x 2 + ∫ e - 2 x . x     d x

Vamos fazer integral por partes mais uma vez com u = x , d v = e - 2 x , d u = 1 e v = - e - 2 x 2 :

∫ e - 2 x . x 2 + 5 d x = x 2 + 5 . - e - 2 x 2 + - e - 2 x 2 . x - ∫ - e - 2 x 2   d x

Então:

∫ e - 2 x . x 2 + 5 d x = - e - 2 x . x 2 2 - e - 2 x . x 2 - 11 e - 2 x 4

Substituindo em ( I I I ) :

y x = 1 e - 2 x - e - 2 x . x 2 2 - e - 2 x . x 2 - 11 e - 2 x 4 + c

y x = - x 2 2 - x 2 - 11 4 + c . e 2 x

Sendo que x possui nenhuma restrição:

- ∞ < x < ∞

Boaaa, foi mais fácil do que parecia né?

Resposta

y x = - x 2 2 - x 2 - 11 4 + c . e 2 x

- ∞ < x < ∞

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