Enunciado

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Resolva o problema de contorno, se possível.

y ' ' + 100 y = 0 ,       y 0 = 2 ,   y π = 5

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero. Com isso, vamos supor uma solução do tipo:

y x = A e k x

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. E depois aplicar as condições iniciais e determinar as constantes =)

Vamos lá?

Passo 2

Como primeiro passo, vamos supor uma solução do tipo:

y x = A e k x

As derivadas de primeira e segunda ordem:

y ' x = A k e k x

y ' ' x = A k 2 e k x

Agora vamos substituir na equação diferencial:

k 2 A e k x + 100 A e k x = 0

Dividindo essa equação por A e k x temos:

k 2 + 100 = 0

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Passo 3

Para resolver essa equação vou isolar k :

k 2 = - 10 0

k = ± 10 i

As raízes são complexas do tipo k = α ± β i e assim a solução é:

y x = e α x c 1 cos ⁡ β x + c 2 s e n β x

Beleza? Aqui achamos α = 0 e β = 10 . Vamos substituir os valores encontrados?

y x = c 1 cos ⁡ 10 x + c 2 s e n 10 x

Show! Agora vamos aplicar as condições iniciais?

Bora lá!

Passo 4

As duas condições de contorno são:

y 0 = 2

y π = 5

A primeira condição de contorno nos diz que   y 0 = 2 . Aplicando na solução do passo 3 temos:

y 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 s e n 0 = 2

Sendo assim temos:

c 1 . 1 + c 2 . 0 = 2

Dalí tiramos o valor de c 1 :

c 1 = 2

A segunda condição de contorno é em outro ponto da solução. Então temos:

y π = c 1 cos ⁡ π + c 2 s e n π = 5

- c 1 = 5

Aqui encontramos uma inconsistência matemática, pois duas conduções de contorno levaram a dois valores diferentes para a mesma constante. Então esse problema de contorno não é possível.

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

n ã o   é   p o s s í v e l

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Resolva o problema de contorno, se possível. y ' ' + 2 y ' = 0 ,