Enunciado

Resolva o problema de valor inicial

9 y^(' ') + 12 y^' + 4 y = 0

y (0) = 1 , y^' (0) = 0

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes (pois todos os coeficientes são constantes kkk) e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero.

Passo 2

Com isso, vamos supor uma solução do tipo:

y (t) = A e^(k t)

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

y^' (t) = A k e^(k t)

y^(' ') (t) = A k^2 e^(k t)

Agora vamos substituir na equação diferencial:

9 k^2 A e^(k t) + 12 k A e^(k t) + 4 A e^(k t) = 0

Dividindo essa equação por A e^(k t) temos:

9 k^2 + 12 k + 4 = 0

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Passo 3

Para determinar essas raízes, vamos usar a (mais famosa ainda) fórmula de Bháskara:

k = (- ( 12 ) +- sqrt(( 12 )^2 - 4.9 . 4))/(2.9) = (- 12 +- sqrt(0))/(18)

Agora simplificando ao máximo temos:

k = (- 12 +- 0)/(18) = - (2)/(3)

Aqui encontramos duas raízes reais e iguais e a solução vai ser: y (x) = c_1 e^(- 2 // 3 x) + c_2 x e^(- 2 // 3 x)

Show! Agora vamos aplicar as condições iniciais?

Passo 4

As duas condições de contorno são:

y (0) = 1

y^' (0) = 0

A primeira condição de contorno nos diz que y (0) = 0 . Aplicando na solução do passo 3 temos:

y (1) = c_1 e^0 + c_2 0 . e^0 = 1

Sendo assim temos:

c_1 = 1

A segunda condição de contorno é sobre a derivada. Então, derivando a solução temos (lembrem da regra do produto!):

y^' (x) = c_1 . (- (2)/(3)) e^(- (2)/(3) x) + c_2 (- (2)/(3)) x e^(- (2)/(3) x) + c_2 e^(- (2)/(3) x)

A condição de contorno nos diz que y^' (0) = 0 , então fazendo x = 0 temos:

c_1 . (- (2)/(3)) e^0 + c_2 (- (2)/(3)) 0 e^0 + c_2 e^0 = 0

E simplificando temos:

- (2)/(3) c_1 + c_2 = 0

c_2 = (2)/(3) c_1

Mas sabemos que c_1 = 1 , então ficamos com uma expressão apenas para c_2 :

c_2 = (2)/(3) . 1 = (2)/(3)

Agora temos como determinar por completo a solução:

y (x) = e^(- 2 // 3 x) + (2)/(3) x e^(- 2 // 3 x)

y (x) = ((2)/(3) x + 1) e^(- (2)/(3) x)

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y (x) = ((2)/(3) x + 1) e^(- (2)/(3) x)

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