Resolva a equação diferencial.

12.2 \* (d^2R/dt^2) + 6 \* (dR/dt) + 34R = 0

Passo 1

A equação diferencial não possui termos com t multiplicando as derivadas e a função R , então uma solução que satisfaz ela é:

R = e r t

Mas precisamos encontrar os valores de r para termos a solução geral.

As derivadas da solução que usamos são:

d R d t = r e r t

d 2 R d t 2 = r 2 e r t

Passo 2

Para acharmos r vamos substituir o que calculamos na equação diferencial dada:

2 r 2 e r t + 6 r e r t + 34 e r t = 0

Dividindo dos dois lados por 2 e r t :

r 2 + 3 r + 17 = 0

E aplicando a fórmula de Bhaskara no polinômio:

r = - 3 ± 9 - 68 2 = - 3 ± i 59 2

Passo 3

Como as raízes são complexas ( r = α + i β ) , a solução geral será do tipo:

R = e α x ( c 1 c o s β t + c 2 s e n β t )

Com α = - 3 / 2 e β = 59 2 , a solução fica:

R = e - 3 2 t c 1 cos ⁡ 59 2 t + c 2 s e n 59 2 t

Resposta

R = e - 3 2 t c 1 cos ⁡ 59 2 t + c 2 s e n 59 2 t

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