Enunciado

Resolva o problema de valor de contorno, se possível.

y ' ' - 8 y ' + 17 y = 0

y 0 = 3 ,   y π = 2

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes (pois todos os coeficientes são constantes kkk) e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero.

Passo 2

Com isso, vamos supor uma solução do tipo:

y x = A e k x

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

y ' x = A k e k x

y ' ' x = A k 2 e k x

Agora vamos substituir na equação diferencial:

k 2 A e k x - 8 A k e k x + 17 A e k x = 0

Dividindo essa equação por A e k t temos:

k 2 - 8 k + 17 = 0

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Passo 3

Para determinar essas raízes, vamos usar a (mais famosa ainda) fórmula de Bháskara:

k = - ( - 8 ) ± ( - 8 ) 2 - 4.1 . 17 2.1 = 8 ± - 4 2

Agora simplificando ao máximo temos duas soluções imaginárias:

k = 4 ± i

Como as raízes são complexas do tipo k = α ± β i a solução é:

y x = e α x c 1 cos ⁡ β x + c 2 s e n β x

Beleza? Aqui achamos α = 4 e β = 1 . Vamos substituir os valores encontrados?

y x = c 1 e 4 x cos ⁡ x + c 2 e 4 x s e n x

Show! Agora vamos aplicar as condições iniciais?

Passo 4

As duas condições de contorno são:

y 0 = 3

y π = 2

A primeira condição de contorno nos diz que   y 0 = 3 . Aplicando na solução do passo 3 temos:

y 0 = c 1 e 0 cos ⁡ 0 + c 2 e 0 s e n 0 = 3

Simplificando teremos (lembrando que e 0 = 1 , cos ⁡ 0 = 1   e   s e n 0 = 0 ):

c 1 = 3

A segunda condição de contorno é y π = 2 . Então, substituindo em y ( x ) temos:

y = c 1 e π cos ⁡ π + c 2 e π s e n π = 2

c 1 e π - 1 + c 2 e π 0 = 2

- c 1 = 2 ∴ c 1 = - 2

Opa! Aqui encontramos dois valores diferentes para a mesma constante, e isso não rola né? Sendo assim esse problema de valor inicial é impossível!

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

i m p o s s í v e l

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