Enunciado

Resolva o problema de valor inicial y ' ' - y = 0 , y 0 = 2 , y ' 0 = β . Depois encontre β de modo que a solução tenda a zero quando t → ∞ .

Passo 1

Para resolvermos esse problema iremos analisar cada tipo de EDO e escolher o melhor método para resolvermos a mesma. Após isso, vamos aplicar esse método nos atentando com os casos complicados que podem aparecer. Para o problema de valor inicial, usaremos uma relação dada no capítulo para as constantes, onde resolvemos um sistema e chegamos que

c 1 = y 0 ' - y 0 ⋅ r 2 r 1 - r 2 ⋅ e - r 1 ⋅ t 0 ,     c 2 = y 0 ⋅ r 1 - y 0 ' r 1 - r 2 ⋅ e - r 2 ⋅ t 0

Vamos resolver juntos!!

Passo 2

Bom, como para esse capítulo vamos apenas cair no caso onde a nossa equação característica é dada por r 1 ≠ r 2 , temos que haverá duas soluções para nossa equação. Supondo então que nossa solução é dada por y = e r ⋅ t , temos que nossa solução geral será

y = c 1 ⋅ e r 1 ⋅ t + c 2 ⋅ e r 2 ⋅ t e

y ' = c 1 ⋅ r 1 ⋅ e r 1 t + c 2 ⋅ r 2 ⋅ e r 2 t  

Ficando com y ' = r ⋅ e r ⋅ t e y ' ' = r 2 ⋅ e r ⋅ t . Substituindo em nossa EDO, temos que

4 r 2 - 1 ⋅ e r ⋅ t = 0

4 r 2 - 1 = 0

Caimos em uma equação de segundo grau. Resolvendo pelo método de Bhaskara, chegamos que

r = - b ± b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c 2 ⋅ a = 0 ± 16 8

Tendo como raízes r 1 = 1 / 2 e r 2 = - 1 / 2   . Assim, temos que nossa solução geral para a EDO dada é

y = c 1 ⋅ e 1 / 2 t + c 2 ⋅ e - 1 / 2 t

Passo 3

Aplicando as condições de contorno, temos que nossas constantes serão dadas pela relação mostrada no Passo 1, assim temos que

c 1 = y 0 ' - y 0 ⋅ r 2 r 1 - r 2 ⋅ e - r 1 ⋅ t 0 = β + 2 ⋅ 1 / 2 1 / 2 + 1 / 2 ⋅ e - 1 / 2 ⋅ 0 = β + 1 1

c 2 = y 0 ⋅ r 1 - y 0 ' r 1 - r 2 ⋅ e - r 2 ⋅ t 0 = 2 ⋅ 1 / 2 - β 1 / 2 + 1 / 2 ⋅ e 1 / 2 ⋅ 0 = 1 - β 1

Assim nossa equação que satisfaz a EDO é

y = β + 1 ⋅ e 1 / 2 t + 1 - β ⋅ e - 1 / 2 t

Para que essa equação tenda a 0 quando t → ∞ , temos que um modo de isso acontecer é se nosso termo e 5 t desaparecer. Para isso acontecer, temos que basta β = - 1 , assim temos que nossa solução como pedido no enunciado será

y = 2 ⋅ e - 1 / 2 t

Resposta

y = 2 ⋅ e - 1 / 2 t ,     β = - 1

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