15. Resolva o problema de valor inicial y' + y = x + e^x , y(0) = 0 .

Passo 1

Temos que a EDO é linear, com P x = 1 e Q x = x + e x .

Passo 2

Lembrando que o fator integrante é dado por I x = e ∫ P x d x , ou seja I x = e ∫ 1 d x = e x .

Passo 3

Sabendo que dado o fator integrante I ( x ) , a solução y ( x ) é dada por y x = 1 I ( x ) ∫ I x Q x d x + C . Já sabemos que I x = e x e que Q x = x + e x .

Passo 4

Então precisamos calcular ∫ e x x + e x d x = ∫ x e x + e 2 x d x = ∫ x e x d x + ∫ e 2 x d x . Utilizando o método da integração por partes na primeira integral, onde ∫ u d v = u v - ∫ v d u . Tomando u = x e d v = e x , então d u = 1 e v = e x . Então ∫ x e x d t = x e x - ∫ e x d x = x e x - e x . Para calcular a segunda integral, fazemos u = 2 x , então d u = 2 d x , isto é, d x = d u 2 . Temos que ∫ e 2 x d x = ∫ e u d u 2 = e u 2 = e 2 x 2 . Então ∫ e x x + e x d x = x e x - e x + e 2 x 2 y x = 1 e x x e x - e x + e 2 x 2 + C .

Passo 5

Sabemos que y 0 = 0 . Então 1 e 0 0 ⋅ e 0 - e 0 + e 2 ⋅ 0 2 + C = 0 . Como e 0 = 1 , segue que - 1 + 1 2 + C = 0 e C = 1 2

Resposta

y x = 1 e x x e x - e x + e 2 x 2 + 1 2

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