Resolva o problema de valor inicial:

(x+1) dy/dx + 2y = x, x > -1, y(0) = 1

Passo 1

Vamos começar dividindo tudo por ( x + 1 ) ...

y ' + 2 y x + 1 = x x + 1

Agora vamos ao fator integrante v y = e ∫ P x ...

O P ( x ) é 2 x + 1 certo? Então vamos integrar isso...

∫ 2 x + 1 = 2 ln ⁡ x + 1 + C

O fator integrante então é:

v x = e 2 ln ⁡ x + 1 = x + 1 2

Passo 2

Então agora nós montamos a equação, da forma:

y = 1 v x ∫ v x Q x d x

A nossa fica:

y = 1 x + 1 2 ∫ x + 1 2 x x + 1 d x

y = 1 x + 1 2 ∫ x + 1 x   d x

y = 1 x + 1 2 ∫ x 2 + x   d x  

y =   1 x + 1 2 x 3 3 + x 2 2 + C

Usamos o valor inicial para determinarmos a constante...

Passo 3

Como y 0 = 1 , substituímos na equação encontrada e achamos o valor de C :

y 0 =   1 0 + 1 2 0 3 3 + 0 2 2 + C = 1

C = 1

Então a solução da equação é:

y = 1 x + 1 2 x 3 3 + x 2 2 + 1  

Prontinho😊

Resposta

y =   1 x + 1 2 + x 3 3 + x 2 2 + 1

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