Resolva a equação diferencial:

e^x \* dy/dx + 2 \* e^x \* y = 1

Passo 1

E aê pessoal? Vamos resolver essa equação diferencial.

Primeiro, vamos dividir a equação por e x , pois o coeficiente de d y d x deve ser 1. E vamos ainda, escrever d y d x como y ' , beleza?

y ' + 2 y = e - x

Passo 2

Vamos agora comprar com a equação diferencial:

y ' x + p x y = f ( x )

Comparando, percebemos que p x =   2 ; f x = e - x

Agora, que identificamos p ( x ) e f ( x ) , vamos encontrar o fator integrante, ok?

Show, o fator integrante é dado por:

u x =   e ∫ p x d x = e ∫ 2 d x =   e 2 x

Passo 3

Agora, multiplicaremos o fator integrante pela equação dada:

y ' e 2 x + 2 e 2 x y = e - x . e 2 x

y ' e 2 x + 2 e 2 x y =   e x

Repare que do lado esquerdo da equação equivale a derivado do produto:

d y d x e 2 x . y =   e x

Passo 4

Beleza, agora é só integrar:

e 2 x . y = ∫ e x d x

e 2 x . y =   e x + C

y = e x + C e 2 x

y =   e - x + c . e - 2 x

Resposta

y =   e - x + c . e - 2 x

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