Enunciado

Resolva o problema de valor inicial

y^(' ') - y^' - 12 y = 0

y (1) = 0 , y^' (1) = 1

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes (pois todos os coeficientes são constantes kkk) e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero.

Passo 2

Com isso, vamos supor uma solução do tipo:

y (x) = A e^(k x)

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

y^' (x) = A k e^(k x)

y^(' ') (x) = A k^2 e^(k x)

Agora vamos substituir na equação diferencial:

k^2 A e^(k x) - A e^(k x) - 12 A e^(k x) = 0

Dividindo essa equação por A e^(k t) temos:

k^2 - k - 12 = 0

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Passo 3

Para determinar essas raízes, vamos usar a (mais famosa ainda) fórmula de Bháskara:

k = (- ( - 1 ) +- sqrt(( - 1 )^2 - 4.1 . - 12))/(2.1) = (1 +- sqrt(49))/(2)

Agora simplificando ao máximo temos duas soluções:

k^' = (1 + 7)/(2) = 4

k^(' ') = (1 - 7)/(2) = - 3

Aqui temos duas raízes distintas, então a solução vai ser:

y (x) = c_1 e^(4 x) + c_2 e^(- 3 x)

Show! Agora vamos aplicar as condições iniciais?

Passo 4

As duas condições de contorno são:

y (1) = 0

y^' (1) = 1

A primeira condição de contorno nos diz que y (1) = 0 . Aplicando na solução do passo 3 temos:

y (1) = [c_1 e^4 + c_2 e^(- 3)] = 0

Simplificando teremos:

c_1 = - c_2 e^(- 7)

A segunda condição de contorno é sobre a derivada. Então, derivando a solução temos:

y^' = [c_1 (4) e^(4 x) + c_2 (- 3) e^(- 3 x)]

A condição de contorno nos diz que y^' (1) = 1 , então fazendo x = 1 temos:

[4 c_1 e^4 - 3 c_2 e^(- 3)] = 1

Mas sabemos que c_1 = - c_2 e^(- 7) , então ficamos com uma expressão apenas para c_2 :

4 (- c_2 e^(- 7)) e^4 - 3 c_2 e^(- 3) = 1

- 4 c_2 e^(- 3) - 3 c_2 e^(- 3) = 1

- 7 c_2 e^(- 3) = 1

c_2 = - (e^3)/(7)

E agora podemos descobrir c_1 :

c_1 = - c_2 e^(- 7) = - (- (e^3)/(7)) e^(- 7) = (e^(- 4))/(7)

Agora temos como determinar por completo a solução:

y (x) = (e^(- 4))/(7) e^(4 x) - (e^3)/(7) e^(- 3 x)

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y (x) = (e^(- 4))/(7) e^(4 x) - (e^3)/(7) e^(- 3 x)

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