Resolva os problemas de valor inicial.

3y'' - 2y' - y = 0, y(0) = 0, y'(0) = -4

Passo 1

Galerinha, se tivermos uma equação diferencial de segunda ordem da forma

a y ' ' + b y ' + c y = 0

uma solução pode ser encontrada através das raízes da equação auxiliar (ou equação característica) que é escrita como

a r 2 + b r + c = 0

As raízes dessa equação vão ajudar a dar forma a solução da equação diferencial. A tabela abaixo nos dá as possibilidades de raízes e suas respectivas formas de soluções gerais.

As constantes C 1 e C 2 podem ser encontradas através dos problemas de valor inicial! São dados dois valores para serem substituídos na solução geral a fim de encontrarmos esses valores.

Vamos escrever a equação característica da nossa questão:

3 r 2 - 2 r - 1 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara para achar as raízes:

r = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

r 1 = 2 + 4 - 4 3 - 1 2 × 3 = 2 + 4 6 = 1

r 1 = 2 - 4 - 4 3 - 1 2 × 3 = 2 - 4 6 = - 1 3

Passo 2

Encontramos no passo anterior as raízes complexas! Portanto, a solução geral pode ser escrita da seguinte forma:

y = c 1 e x + c 2 e - x 3

Vamos aplicar os valores iniciais dados para encontrarmos as constantes! Quando y 0 = 0 :

0 = C 1 e 0 + C 2 e 0

C 1 + C 2 = 0

Para aplicarmos o segundo valor, precisamos derivar a solução geral. Assim,

y ' = C 1 e x - C 2 3 e - x 3

Aplicando o valor y ' 0 = - 4 :

- 4 = C 1 e 0 - C 2 3 e 0

- 4 = C 1 - C 2 3

Temos, então, um sistema de duas equações e duas incógnitas! Logo,

C 1 + C 2 = 0 C 1 - C 2 3 = - 4

Passo 3

Para começarmos a resolver o sistema de equações, vamos tirar a seguinte relação da primeira equação:

C 2 = - C 1

Substituindo na segunda equação, temos:

C 1 - - C 1 3 = - 4 → C 1 + C 1 3 = - 4

4 C 1 3 = - 4

C 1 = - 3

Logo,

C 2 = 3

Assim, a solução final é igual a:

y = - 3 e x + 3 e - x 3

Resposta

A solução final da equação é:

y = - 3 e x + 3 e - x 3

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