Enunciado

Resolva os problemas de valor inicial.

3 y^(' ') - 2 y^' - y = 0 , y (0) = 0 , y^' (0) = - 4

Passo 1

Galerinha, se tivermos uma equação diferencial de segunda ordem da forma

a y^(' ') + b y^' + c y = 0

uma solução pode ser encontrada através das raízes da equação auxiliar (ou equação característica) que é escrita como

a r^2 + b r + c = 0

As raízes dessa equação vão ajudar a dar forma a solução da equação diferencial. A tabela abaixo nos dá as possibilidades de raízes e suas respectivas formas de soluções gerais.

As constantes C_1 e C_2 podem ser encontradas através dos problemas de valor inicial! São dados dois valores para serem substituídos na solução geral a fim de encontrarmos esses valores.

Vamos escrever a equação característica da nossa questão:

3 r^2 - 2 r - 1 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara para achar as raízes:

r = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

r_1 = (2 + sqrt(4 - 4 (3) (- 1)))/(2 xx 3) = (2 + 4)/(6) = 1

r_1 = (2 - sqrt(4 - 4 (3) (- 1)))/(2 xx 3) = (2 - 4)/(6) = - (1)/(3)

Passo 2

Encontramos no passo anterior as raízes complexas! Portanto, a solução geral pode ser escrita da seguinte forma:

y = c_1 e^x + c_2 e^(- (x)/(3))

Vamos aplicar os valores iniciais dados para encontrarmos as constantes! Quando y (0) = 0 :

0 = C_1 e^0 + C_2 e^0

C_1 + C_2 = 0

Para aplicarmos o segundo valor, precisamos derivar a solução geral. Assim,

y^' = C_1 e^x - (C_2)/(3) e^(- (x)/(3))

Aplicando o valor y^' (0) = - 4 :

- 4 = C_1 e^0 - (C_2)/(3) e^0

- 4 = C_1 - (C_2)/(3)

Temos, então, um sistema de duas equações e duas incógnitas! Logo,

{[[C_1 + C_2 = 0],[C_1 - (C_2)/(3) = - 4]])

Passo 3

Para começarmos a resolver o sistema de equações, vamos tirar a seguinte relação da primeira equação:

C_2 = - C_1

Substituindo na segunda equação, temos:

C_1 - (- C_1)/(3) = - 4 -> C_1 + (C_1)/(3) = - 4

(4 C_1)/(3) = - 4

C_1 = - 3

Logo,

C_2 = 3

Assim, a solução final é igual a:

y = - 3 e^x + 3 e^(- (x)/(3))

Resposta

A solução final da equação é:

y = - 3 e^x + 3 e^(- (x)/(3))

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