Enunciado

Resolva os problemas de valor de contorno:

y^(' ') + 4 y^' + 4 y = 0 , y (0) = 2 , y (1) = 0

Passo 1

Galerinha, se tivermos uma equação diferencial de segunda ordem da forma

a y^(' ') + b y^' + c y = 0

uma solução pode ser encontrada através das raízes da equação auxiliar (ou equação característica) que é escrita como

a r^2 + b r + c = 0

As raízes dessa equação vão ajudar a dar forma a solução da equação diferencial. A tabela abaixo nos dá as possibilidades de raízes e suas respectivas formas de soluções gerais.

As constantes C_1 e C_2 podem ser encontradas através dos problemas de valor de contorno! São dados dois valores para serem substituídos na solução geral a fim de encontrarmos esses valores.

Vamos escrever a equação característica da nossa questão:

r^2 + 4 r + 4 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara para achar as raízes:

r = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

r_1 = (- 4 + sqrt(16 - 4 (1) (4)))/(2) = (- 4)/(2) = - 2

r_1 = (- 4 - sqrt(16 - 4 (1) (4)))/(2) = (- 4)/(2) = - 2

Passo 2

Encontramos no passo anterior as raízes complexas! Portanto, a solução geral pode ser escrita da seguinte forma:

y = (C_1 e^(- 2 x) + C_2 x e^(- 2 x))

Vamos aplicar os valores de contorno dados para encontrarmos as constantes! Quando y (0) = 2 :

C_1 = 2

Aplicando o segundo valor de contorno y (1) = 0 , temos

0 = 2 e^(- 2) + C_2 e^(- 2)

C_2 = - 2

Assim, a solução final é igual a:

y = (2 e^(- 2 x) - 2 x e^(- 2 x))

Resposta

A solução final da equação é:

y = (2 e^(- 2 x) - 2 x e^(- 2 x))

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