Enunciado

Resolva o problema de valor de contorno, se possível

y ' ' + 4 y = 0

y 0 = 5 ,   y π / 4 = 3

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes (pois todos os coeficientes são constantes kkk) e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero.

Passo 2

Com isso, vamos supor uma solução do tipo:

y x = A e k x

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

y ' x = A k e k x

y ' ' x = A k 2 e k x

Agora vamos substituir na equação diferencial:

k 2 A e k x + 4 A e k x = 0

Dividindo essa equação por A e k t temos:

k 2 + 4 = 0

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Passo 3

Para determinar essas raízes, vamos usar a (mais famosa ainda) fórmula de Bháskara:

k = - ( 0 ) ± ( 0 ) 2 - 4.1 . 4 2.1 = ± - 16 2 = ± 4 i 2

Agora simplificando ao máximo temos duas soluções:

k = ± 2 i

As raízes são complexas do tipo k = α ± β i e assim a solução é:

y x = e α x c 1 cos ⁡ β x + c 2 s e n β x

Beleza? Aqui achamos α = 0 e β = 2 . Vamos substituir os valores encontrados?

y x = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n 2 x

Show! Agora vamos aplicar as condições iniciais?

Passo 4

As duas condições de contorno são:

y 0 = 5

y π / 4 = 3

A primeira condição de contorno nos diz que   y 0 = 5 . Aplicando na solução do passo 3 temos:

y 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 s e n 0 = 5

Simplificando teremos (lembrando que cos ⁡ 0 = 1   e   s e n 0 = 0 ):

c 1 = 5

A segunda condição de contorno é y π 4 = 3 . Então, substituindo em y ( x ) temos:

y = c 1 cos ⁡ 2 π 4 + c 2 s e n 2 π 4 = c 1 cos ⁡ π 2 + c 2 s e n π 2

A condição de contorno nos diz que y π / 4 = 3 , temos:

0 c 1 + c 2 = 3

c 2 = 3

Agora temos como determinar por completo a solução:

y x = 5 cos ⁡ 2 x + 3 s e n 2 x

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y x = 5 cos ⁡ 2 x + 3 s e n 2 x

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