Resolva o problema de valor inicial.

y' = x + y, y(0) = 2

Passo 1

O exercício pede para resolvermos a equação diferencial. Neste caso, temos

y ' - y = x

Note que essa equação é linear e pode ser esciita na forma

y ' + P x   y = Q x ,

com

P x = - 1                     e                 Q x = x

O primeiro passo para resolver a equação é achar o fator integrante:

I = e ∫ P x   d x

Calculando a integral:

∫ P x   d x = - ∫ d x = - x

Assim,

I = e - x

Passo 2

Multiplicando a equação pelo fator integrante:

y ' e - x - e - x   y = x   e - x

Assim, o primeiro termos pode ser fatorado:

y ' e - x - e - x   y = ( y e - x ) '

Logo,

d d x y e - x = x   e - x

Integrando, obtemos

y e - x = ∫ x   e - x   d x

Para calcular essa integral, usaremos integração por partes:

∫ v   d u = u v - ∫ v   d u

Chamando u = x e d v = e - x d x , obtemos

d u = d x             e             v = - e - x

Assim,

∫ x   e - x   d x = - x e - x + ∫ e - x   d x = - x e - x - e - x + C

Passo 3

Assim,

y   e - x = - x e - x - e - x + C

Isolando y :

y = - x - 1 + C e x

Agora usamos a condição y 0 = 2 :

2 = - 0 - 1 + C ⇒ C = 3

Logo,

y = - x - 1 + 3 e x

Resposta

y = - x - 1 + 3 e x

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