Resolva o problema de valor inicial:

x dy + (y - cos(x)) dx = 0, y(pi/2) = 0

Passo 1

A gente tem que chegar nessa forma: y ' + P x y = Q ( x ) :

Vamos dividir tudo por d x ...

x d y d x + ( y - cos ⁡ x ) = 0

x y ' + y - cos ⁡ x = 0

Agora a gente divide tudo por x ...

y ' + y x = c o s x x

Agora vamos ao fator integrante v y = e ∫ P x ...

O P ( x ) é   1 x certo? Então vamos integrar isso...

∫ 1 x d x = ln ⁡ x

O fator integrante então é:

v x = e ln ⁡ x = x

Passo 2

Então agora nós montamos a equação, da forma:

y = 1 v x ∫ v x Q x d x

A nossa fica:

y = 1 x ∫ x   cos ⁡ x x d x

y = 1 x   ∫ cos ⁡ x   d x

y = 1 x ( s e n   x + C )

y =   s e n x x + C x

Usamos o valor inicial para determinarmos a constante...

Passo 3

Como y π 2 = 0 , substituímos na equação encontrada e achamos o valor de C :

y π 2 = 1 π 2 1 + C = 0

1 + C = 0 → C = - 1

Então a solução da equação é:

y =   s e n x x - 1 x

Resposta

y =   s e n x x - 1 x

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