Resolva o problema de valor inicial:

x \* y' + (x - 2) \* y = 3 \* x^3 \* e^(-x), y(1) = 0

Passo 1

A gente tem que chegar nessa forma: y ' + P x y = Q ( x ) :

Vamos dividir tudo por x ...

y ' + x - 2 y x = 3 x 2 e - x

Agora vamos ao fator integrante v y = e ∫ P x ...

O P ( x ) é   x - 2 x   certo? Então vamos integrar isso...

∫ x - 2 x   d x = ∫ 1 - 2 x d x = x - 2 ln ⁡ x + C

O fator integrante então é:

v x = e x - 2 ln ⁡ x = e x x 2

Passo 2

Então agora nós montamos a equação, da forma:

y = 1 v x ∫ v x Q x d x

A nossa fica:

y = 1 e x x 2 ∫ e x x 2 3 x 2 e - x d x

y = x 2 e x   ∫ 3   d x

y = x 2 e x ( 3 x + C )

Usamos o valor inicial para determinarmos a constante...

Passo 3

Como y 1 = 0 , substituímos na equação encontrada e achamos o valor de C :

y 1 = 1 2 e 1 3 1 + C = 0

1 e 3 + C = 0

3 + C = 0 → C = - 3

Então a solução da equação é:

y = x 2 e x ( 3 x - 3 )

Resposta

y = x 2 e x ( 3 x - 3 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados